与えられた4x4行列の行列式を余因子展開を用いて計算します。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を余因子展開を用いて計算します。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 3 & 4 \\

0 & 1 & 2 & 3 \\

3 & 2 & 4 & 6 \\

0 & 1 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、余因子展開を行う行または列を選びます。ここでは、0が多い1列目を使って展開します。行列式を $det(A)$ とすると、

$det(A) = 2 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41} = 2 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{31}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i, j)$ 成分の余因子です。

次に、$C_{11}$ と $C_{31}$ を計算します。余因子は、対応する小行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot det\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 6 \\

1 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot det\begin{pmatrix}

-1 & 3 & 4 \\

1 & 2 & 3 \\

1 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

ここで、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

まず、$C_{11}$ の行列式：

$\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 4 & 6 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = 1(4-6) - 2(2-6) + 3(2-4) = -2 + 8 - 6 = 0$

したがって、$C_{11} = (-1)^{2} \cdot 0 = 0$

次に、$C_{31}$ の行列式：

$\begin{vmatrix}

-1 & 3 & 4 \\

1 & 2 & 3 \\

1 & 1 & 1

\end{vmatrix} = -1(2-3) - 3(1-3) + 4(1-2) = 1 + 6 - 4 = 3$

したがって、$C_{31} = (-1)^{4} \cdot 3 = 3$

最後に、$det(A)$ を計算します。

$det(A) = 2 \cdot C_{11} + 3 \cdot C_{31} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 3 = 0 + 9 = 9$

3. 最終的な答え

9