この問題は、多項式の割り算と、与えられた多項式に特定の値を代入することに関する問題です。具体的には、 (1) $2x^2 + 7x + 9$ を $x+1$ で割る。 (2) $4x^3 + 3x - 1$ を $2x+1$ で割り、商と余りを求める。 (3) $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2$ について、 (a) $p(0)$ の値を求める。 (b) $p(-1)$ の値を求める。 (c) $p(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。

1. 問題の内容

この問題は、多項式の割り算と、与えられた多項式に特定の値を代入することに関する問題です。具体的には、

(1) $2x^2 + 7x + 9$ を $x+1$ で割る。

(2) $4x^3 + 3x - 1$ を $2x+1$ で割り、商と余りを求める。

(3) $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2$ について、

(a) $p(0)$ の値を求める。

(b) $p(-1)$ の値を求める。

(c) $p(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 + 7x + 9$ を $x+1$ で割る。

多項式の割り算を行います。

$2x^2 + 7x + 9$ を $x+1$ で割ると、商は $2x+5$、余りは $4$ となります。

(2) $4x^3 + 3x - 1$ を $2x+1$ で割り、商と余りを求める。

多項式の割り算を行います。

$4x^3 + 3x - 1$ を $2x+1$ で割ると、商は $2x^2 - x + 2$、余りは $-3$ となります。

筆算を行うと以下のようになります。

```

2x^2 - x + 2

2x+1 | 4x^3 + 0x^2 + 3x - 1

4x^3 + 2x^2

-----------------

-2x^2 + 3x

-2x^2 - x

-----------------

4x - 1

4x + 2

-----------------

-3

```

(3) $p(x) = x^3 + 5x^2 + 3x + 2$ について、

(a) $p(0)$ の値を求める。

$p(0) = (0)^3 + 5(0)^2 + 3(0) + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2$

(b) $p(-1)$ の値を求める。

$p(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 5 - 3 + 2 = 3$

(c) $p(x)$ を $x-1$ で割った余りを求める。

剰余の定理より、$p(x)$ を $x-1$ で割った余りは $p(1)$ に等しい。

$p(1) = (1)^3 + 5(1)^2 + 3(1) + 2 = 1 + 5 + 3 + 2 = 11$

3. 最終的な答え

(1) 商: $2x+5$, 余り: $4$

(2) 商: $2x^2 - x + 2$, 余り: $-3$

(3) (a) $p(0) = 2$

(b) $p(-1) = 3$

(c) 余り: $11$