与えられた式 $x^2 + x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$, $b$, $c$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開し、整理します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

したがって、

$x^2 + x - 1 = ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c)$

この式が $x$ についての恒等式であるためには、両辺の同じ次数の項の係数が等しくなければなりません。よって、次の3つの式が得られます。

$a = 1$

$-2a + b = 1$

$a - b + c = -1$

まず、$a=1$ が得られます。

次に、$-2a+b = 1$ に $a=1$ を代入すると、$-2(1) + b = 1$ より $b = 3$ が得られます。

最後に、$a-b+c = -1$ に $a=1$, $b=3$ を代入すると、$1 - 3 + c = -1$ より $-2 + c = -1$ なので、$c = 1$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 3$

$c = 1$