## 問題の内容

## 問題の内容

問題33では、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ であり、$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ のとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\sin \frac{\alpha}{2}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2}$

## 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ であることがわかります。

したがって、$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$, $\tan \frac{\alpha}{2} > 0$ です。

次に、半角の公式を利用します。

(1) $\sin \frac{\alpha}{2}$ について：

半角の公式より、

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$$

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{9}{5}}{2} = \frac{9}{10}$$

$\sin \frac{\alpha}{2} > 0$ より、

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2}$ について：

半角の公式より、

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$$

$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$ を代入すると、

$$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{4}{5})}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{\frac{1}{5}}{2} = \frac{1}{10}$$

$\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ より、

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2}$ について：

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}}$$

$\sin \frac{\alpha}{2}$ と $\cos \frac{\alpha}{2}$ の値を代入すると、

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{10}}{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 3$$

または、

$$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-(-\frac{4}{5})}{1+(-\frac{4}{5})} = \frac{\frac{9}{5}}{\frac{1}{5}} = 9$$

$\tan \frac{\alpha}{2} > 0$ より、

$$\tan \frac{\alpha}{2} = \sqrt{9} = 3$$

## 最終的な答え

(1) $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(2) $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

(3) $\tan \frac{\alpha}{2} = 3$