与えられた二つの命題の真偽を判定する問題です。 (1) $a < b$ ならば $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ (2) $a, b$ が実数ならば $a^2 + b^2 > ab$

1. 問題の内容

与えられた二つの命題の真偽を判定する問題です。

(1) $a < b$ ならば $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

(2) $a, b$ が実数ならば $a^2 + b^2 > ab$

2. 解き方の手順

(1) の命題について考えます。

$a < b$ という条件だけでは、$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ とは限りません。

例えば、$a=-2, b=1$ のとき、$a < b$ ですが、$\frac{1}{a} = -\frac{1}{2}$, $\frac{1}{b} = 1$ であり、$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ となります。

また、$a,b$がともに正である場合、$a<b$ならば$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$は成立します。しかし、ともに負である場合も同様に成立します。

したがって、命題(1)は偽です。

(2) の命題について考えます。

$a^2 + b^2 > ab$ を変形します。

両辺に $ab$を移行すると、$a^2 - ab + b^2 > 0$

さらに両辺に$\frac{1}{4}b^2$を加えることで、$a^2-ab+\frac{1}{4}b^2 + \frac{3}{4}b^2>0$

左辺を平方完成すると、$(a-\frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 > 0$となります。

$(a-\frac{1}{2}b)^2$ は実数の2乗なので0以上であり、$\frac{3}{4}b^2$も0以上です。

$a = b = 0$のときは、$a^2 + b^2 = ab = 0$となり、$a^2 + b^2 > ab$ は成り立ちません。

ただし、問題文には$a,b$が実数であることしか書かれていないので、この反例により命題（２）は偽です。

$a,b$が共に0でない実数という条件であれば、$(a-\frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 > 0$は常に成り立ちます。これは$a=\frac{1}{2}b$の時、$(a-\frac{1}{2}b)^2=0$になりますが、このとき$\frac{3}{4}b^2$は、$b$が0でないため正の数になるからです。よって命題（２）は真となります。

3. 最終的な答え

(1) 偽

(2) 偽