ベクトル $\vec{a} = (-7, 4)$、$\vec{b} = (2, -3)$と実数 $t$ に対して、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が最小となる $t$ の値と、その時の $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-7, 4)$、$\vec{b} = (2, -3)$と実数 $t$ に対して、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ が最小となる $t$ の値と、その時の $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (-7, 4) + t(2, -3) = (-7 + 2t, 4 - 3t)$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (-7 + 2t)^2 + (4 - 3t)^2 = (49 - 28t + 4t^2) + (16 - 24t + 9t^2) = 13t^2 - 52t + 65$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t$ の2次関数なので、平方完成して最小値を求めます。

$13t^2 - 52t + 65 = 13(t^2 - 4t) + 65 = 13(t^2 - 4t + 4 - 4) + 65 = 13(t - 2)^2 - 52 + 65 = 13(t - 2)^2 + 13$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t = 2$ のとき最小値13をとります。

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ は $t = 2$ のとき最小値$\sqrt{13}$をとります。

3. 最終的な答え

$t = 2$ のとき、最小値 $\sqrt{13}$ をとる。