$R^m$空間のベクトル$a_1, \dots, a_n, a$が与えられ、$a_1, \dots, a_n$は一次独立であり、$a$が$a_1, \dots, a_n$の線形結合で表せないとする。このとき、$a_1, \dots, a_n, a$が一次独立であることを示す。

1. 問題の内容

$R^m$空間のベクトル$a_1, \dots, a_n, a$が与えられ、$a_1, \dots, a_n$は一次独立であり、$a$が$a_1, \dots, a_n$の線形結合で表せないとする。このとき、$a_1, \dots, a_n, a$が一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

$a_1, \dots, a_n, a$が一次独立であることを示すためには、これらのベクトルの線形結合がゼロベクトルになるのは、すべての係数がゼロである場合に限ることを示す必要があります。

すなわち、

$c_1 a_1 + \dots + c_n a_n + c a = 0$

を満たすスカラー$c_1, \dots, c_n, c$がすべて0であることを示す。

まず、$c \neq 0$と仮定する。

$c_1 a_1 + \dots + c_n a_n + c a = 0$

より、

$c a = - (c_1 a_1 + \dots + c_n a_n)$

両辺を$c$で割ると、

$a = - \frac{c_1}{c} a_1 - \dots - \frac{c_n}{c} a_n$

これは、$a$が$a_1, \dots, a_n$の線形結合で表されることを意味する。しかし、これは問題文の仮定である「$a$が$<a_1, \dots, a_n>$の要素でない」に矛盾する。

したがって、$c=0$でなければならない。

$c = 0$を$c_1 a_1 + \dots + c_n a_n + c a = 0$に代入すると、

$c_1 a_1 + \dots + c_n a_n = 0$

となる。

$a_1, \dots, a_n$は一次独立であるから、$c_1 = \dots = c_n = 0$でなければならない。

したがって、$c_1 = \dots = c_n = c = 0$である。

これは、$a_1, \dots, a_n, a$が一次独立であることを意味する。

3. 最終的な答え

$a_1, \dots, a_n, a$は一次独立である。