与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x - (3y^2 - y - 4)$

次に、定数項 $3y^2 - y - 4$ を因数分解します。

$3y^2 - y - 4 = (3y - 4)(y + 1)$

したがって、与えられた式は

$x^2 + (2y - 5)x - (3y - 4)(y + 1)$

この式を $(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定します。

ここで、$A + B = 2y - 5$ かつ $AB = -(3y - 4)(y + 1)$ を満たす $A$ と $B$ を見つける必要があります。

$A = -(3y - 4)$、 $B = y + 1$ とすると、

$A + B = -(3y - 4) + (y + 1) = -3y + 4 + y + 1 = -2y + 5$

しかし、$2y - 5$ に一致しません。

$A = 3y - 4$、$B = -(y+1)$とすると、

$A + B = (3y - 4) - (y + 1) = 3y - 4 - y - 1 = 2y - 5$

また、$AB = (3y - 4)(-(y + 1)) = -(3y - 4)(y + 1)$

これは条件を満たします。

したがって、与えられた式は $(x + 3y - 4)(x - y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 4)(x - y - 1)$