2つの条件$p$と$q$について、命題$p \implies q$と$q \implies p$の真偽を調べ、「必要」、「十分」、「必要十分」のうち適切なものを記述する問題です。 (1) $p: x=2$, $q: |x|=2$ (2) $p: x \geq 1$, $q: x > 1$ (3) $p: a < b$, $q: 3a+2 < 3b+2$

1. 問題の内容

2つの条件$p$と$q$について、命題$p \implies q$と$q \implies p$の真偽を調べ、「必要」、「十分」、「必要十分」のうち適切なものを記述する問題です。

(1) $p: x=2$, $q: |x|=2$

(2) $p: x \geq 1$, $q: x > 1$

(3) $p: a < b$, $q: 3a+2 < 3b+2$

2. 解き方の手順

(1) $p \implies q$を考えます。$x=2$ならば$|x|=2$なので、$p \implies q$は真です。

$q \implies p$を考えます。$|x|=2$ならば$x=2$または$x=-2$なので、$q \implies p$は偽です。

したがって、$p$は$q$であるための十分条件であり、$q$は$p$であるための必要条件です。

(2) $p \implies q$を考えます。$x \geq 1$ならば$x > 1$とは限りません（例えば、$x=1$）。したがって、$p \implies q$は偽です。

$q \implies p$を考えます。$x > 1$ならば$x \geq 1$なので、$q \implies p$は真です。

したがって、$p$は$q$であるための必要条件であり、$q$は$p$であるための十分条件です。

(3) $p \implies q$を考えます。$a < b$ならば$3a < 3b$。したがって、$3a+2 < 3b+2$なので、$p \implies q$は真です。

$q \implies p$を考えます。$3a+2 < 3b+2$ならば$3a < 3b$。したがって、$a < b$なので、$q \implies p$は真です。

したがって、$p$は$q$であるための必要十分条件であり、$q$は$p$であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1)

$p$は$q$であるための十分条件

$q$は$p$であるための必要条件

(2)

$p$は$q$であるための必要条件

$q$は$p$であるための十分条件

(3)

$p$は$q$であるための必要十分条件

$q$は$p$であるための必要十分条件