数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - n$ で与えられているとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 - n$ で与えられているとき、和 $a_1 + a_3 + a_5 + \dots + a_{2n-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、一般項 $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、 $a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = 2n^2 - n$ より、

$S_{n-1} = 2(n-1)^2 - (n-1) = 2(n^2 - 2n + 1) - n + 1 = 2n^2 - 4n + 2 - n + 1 = 2n^2 - 5n + 3$

よって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - n) - (2n^2 - 5n + 3) = 4n - 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 2(1)^2 - 1 = 1$ であり、$4(1) - 3 = 1$ なので、$a_n = 4n - 3$ は $n=1$ でも成り立つ。

したがって、$a_n = 4n - 3$ である。

次に、求める和を $\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1}$ で表す。

$a_{2k-1} = 4(2k-1) - 3 = 8k - 4 - 3 = 8k - 7$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} a_{2k-1} = \sum_{k=1}^{n} (8k - 7) = 8 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 7 = 8 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 7n = 4n(n+1) - 7n = 4n^2 + 4n - 7n = 4n^2 - 3n$

3. 最終的な答え

$4n^2 - 3n$