与えられた3つの行列について、それぞれの固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。行列は以下の通り。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、それぞれの固有値と、実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求める。行列は以下の通り。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

固有方程式を解く。行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$に対して、

$\det(A - \lambda I) = 0$を解く。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & -1-\lambda & 0 \\ 2 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda) - 4(-1-\lambda) = (-1-\lambda)((1-\lambda)(-2-\lambda) - 4) = (-1-\lambda)(\lambda^2 + \lambda - 6) = (-1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-2) = 0$

したがって、固有値は$\lambda = -1, -3, 2$。

それぞれの固有値に対して固有ベクトルを求める。

$\lambda = -1$: $(A - (-1)I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x+2z=0$, $2x-z=0$より、$x=0$, $z=0$。よって、$v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

$\lambda = -3$: $(A - (-3)I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x+2z=0$, $2y=0$, $2x+z=0$より、$z=-2x$, $y=0$。よって、$v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$。

$\lambda = 2$: $(A - 2I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x+2z=0$, $-3y=0$, $2x-4z=0$より、$x=2z$, $y=0$。よって、$v = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

(2)

固有方程式を解く。行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}$に対して、

$\det(A - \lambda I) = 0$を解く。

$\begin{vmatrix} -\lambda & 1 & 0 \\ -1 & -\lambda & 2 \\ 0 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(\lambda^2 + 4) + 1(-\lambda) = -\lambda^3 - 4\lambda - \lambda = -\lambda(\lambda^2 + 5) = 0$

したがって、固有値は$\lambda = 0, i\sqrt{5}, -i\sqrt{5}$。

実数値の固有値は$\lambda=0$のみ。$\lambda=0$に対する固有ベクトルを求める。

$(A - 0I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$y=0$, $-x+2z=0$, $-2y=0$より、$y=0$, $x=2z$。よって、$v = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

(3)

固有方程式を解く。行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$に対して、

$\det(A - \lambda I) = 0$を解く。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 1 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)(-\lambda)) - 2(1-\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda + \lambda^2 - 2) = (1-\lambda)(\lambda^2 - \lambda - 2) = (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1) = 0$

したがって、固有値は$\lambda = 1, 2, -1$。

それぞれの固有値に対して固有ベクトルを求める。

$\lambda = 1$: $(A - I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2z=0$, $x+z=0$, $x-z=0$より、$z=0$, $x=0$。よって、$v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

$\lambda = 2$: $(A - 2I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x+2z=0$, $x-y+z=0$, $x-2z=0$より、$x=2z$, $2z-y+z=0$。よって、$y=3z$, $v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。

$\lambda = -1$: $(A - (-1)I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x+2z=0$, $x+2y+z=0$, $x+z=0$より、$x=-z$, $-z+2y+z=0$。よって、$y=0$, $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

(1)

固有値: $\lambda = -1, -3, 2$

固有ベクトル: $\lambda = -1$ に対して $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\lambda = -3$ に対して $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\lambda = 2$ に対して $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2)

固有値: $\lambda = 0, i\sqrt{5}, -i\sqrt{5}$

固有ベクトル: $\lambda = 0$ に対して $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3)

固有値: $\lambda = 1, 2, -1$

固有ベクトル: $\lambda = 1$ に対して $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\lambda = 2$ に対して $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\lambda = -1$ に対して $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$