2次方程式 $3x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 2x + 1 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、$\alpha + \beta$と$\alpha\beta$の値を求めます。

解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$

$\alpha\beta = \frac{1}{3}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

ここに$\alpha + \beta = \frac{2}{3}$と$\alpha\beta = \frac{1}{3}$を代入します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{2}{3})^2 - 2(\frac{1}{3})$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{4}{9} - \frac{2}{3}$

$\alpha^2 + \beta^2 = \frac{4}{9} - \frac{6}{9}$

$\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{2}{9}$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めます。

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3$

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

ここに$\alpha + \beta = \frac{2}{3}$と$\alpha\beta = \frac{1}{3}$を代入します。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\frac{2}{3})^3 - 3(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{8}{27} - \frac{2}{3}$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{8}{27} - \frac{18}{27}$

$\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{10}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{2}{9}$

(2) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{10}{27}$