この問題は、実数 $x$ に関する2つの不等式と、 $xy$ 平面上の円 $C$ と直線 $l$ に関する問題です。 (1) 不等式 $3x^2 - 11x + 6 \le 0$ を解く。 (2) $a=2$ のとき、不等式 $|x-a|<1$ を解く。 (3) 不等式 $3x^2 - 11x + 6 \le 0$ と $|x-a|<1$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める。 (4) 円 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 = 0$ の中心 $A$ の座標と半径 $r$ を求める。 (5) 円 $C$ と直線 $l: x - 2y + a = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。 (6) (5)のとき、円 $C$ と直線 $l$ の異なる2つの交点を $P, Q$ とする。 $a$ が(5)で求めた範囲を動くとき、三角形 $APQ$ の面積が最大となるような $a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答を作成します。

1. 問題の内容

この問題は、実数 $x$ に関する2つの不等式と、 $xy$ 平面上の円 $C$ と直線 $l$ に関する問題です。

(1) 不等式 $3x^2 - 11x + 6 \le 0$ を解く。

(2) $a=2$ のとき、不等式 $|x-a|<1$ を解く。

(3) 不等式 $3x^2 - 11x + 6 \le 0$ と $|x-a|<1$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

(4) 円 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 = 0$ の中心 $A$ の座標と半径 $r$ を求める。

(5) 円 $C$ と直線 $l: x - 2y + a = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

(6) (5)のとき、円 $C$ と直線 $l$ の異なる2つの交点を $P, Q$ とする。 $a$ が(5)で求めた範囲を動くとき、三角形 $APQ$ の面積が最大となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $3x^2 - 11x + 6 \le 0$ を解く。

$3x^2 - 11x + 6 = (3x - 2)(x - 3) \le 0$

よって、$\frac{2}{3} \le x \le 3$

(2) $a=2$ のとき、不等式 $|x-2|<1$ を解く。

$-1 < x - 2 < 1$

$1 < x < 3$

(3) $\frac{2}{3} \le x \le 3$ と $|x-a|<1$ すなわち $a-1 < x < a+1$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような $a$ の値の範囲を求める。

$\frac{2}{3} \le x \le 3$を満たす整数は1,2,3です。

$a-1 < x < a+1$を満たす整数が1,2のみの時、

$0 \le a-1 < 1$ かつ $2 < a+1 \le 3$なので、$1 \le a < 2$ かつ $1 < a \le 2$。よって$1 < a < 2$

$a-1 < x < a+1$を満たす整数が2,3のみの時、

$1 \le a+1 \le 2$ かつ $2 \le a-1 < 3$なので、$0 \le a \le 1$ かつ $3 \le a < 4$。この時共通範囲は存在しない。

したがって、$1 < a < 2$

(4) 円 $C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 3 = 0$ の中心 $A$ の座標と半径 $r$ を求める。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + 3 - 4 - 1 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$

よって、中心 $A(2, 1)$, 半径 $r = \sqrt{2}$

(5) 円 $C$ と直線 $l: x - 2y + a = 0$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求める。

円の中心 $A(2, 1)$ と直線 $l: x - 2y + a = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $r = \sqrt{2}$ より小さければよい。

$d = \frac{|2 - 2(1) + a|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{5}} < \sqrt{2}$

$|a| < \sqrt{10}$

$-\sqrt{10} < a < \sqrt{10}$

$a$ は正の定数なので、$0 < a < \sqrt{10}$

(6) 円 $C$ と直線 $l$ の異なる2つの交点を $P, Q$ とする。$a$ が(5)で求めた範囲を動くとき、三角形 $APQ$ の面積が最大となるような $a$ の値を求める。

三角形 $APQ$ の面積が最大となるのは、$AP = AQ = r = \sqrt{2}$ であり、$AP$ と $AQ$ が直交するとき。

このとき、点 $A$ と直線 $l$ の距離 $d$ は、$d = \frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$

$\frac{|a|}{\sqrt{5}} = 1$

$|a| = \sqrt{5}$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の定数なので、$a = \sqrt{5}$

$0 < \sqrt{5} < \sqrt{10}$ なので、これは (5) の範囲を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} \le x \le 3$

(2) $1 < x < 3$

(3) $1 < a < 2$

(4) 中心 $A(2, 1)$, 半径 $r = \sqrt{2}$

(5) $0 < a < \sqrt{10}$

(6) $a = \sqrt{5}$