2次方程式 $x^2 - (k+4)x + (2k+5) = 0$ が重解を持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの重解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - (k+4)x + (2k+5) = 0$ が重解を持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの重解を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることである。この2次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (k+4)^2 - 4(2k+5)$

である。

重解を持つためには、$D=0$ でなければならないので、

$(k+4)^2 - 4(2k+5) = 0$

$k^2 + 8k + 16 - 8k - 20 = 0$

$k^2 - 4 = 0$

$(k-2)(k+2) = 0$

したがって、$k = 2$ または $k = -2$ となる。

$k=2$ のとき、与えられた2次方程式は

$x^2 - (2+4)x + (2(2)+5) = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

よって、$x = 3$ (重解)

$k=-2$ のとき、与えられた2次方程式は

$x^2 - (-2+4)x + (2(-2)+5) = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

よって、$x = 1$ (重解)

3. 最終的な答え

$k=2$ のとき、重解は $x=3$。

$k=-2$ のとき、重解は $x=1$。