行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ が定める一次変換 $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ によって、平面全体がどのような図形に写るかを答える問題です。選択肢は平面全体、直線、原点の3つです。また、直線の場合の方程式の係数を求める必要があります。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ が定める一次変換 $f(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ によって、平面全体がどのような図形に写るかを答える問題です。選択肢は平面全体、直線、原点の3つです。また、直線の場合の方程式の係数を求める必要があります。

2. 解き方の手順

一次変換によって平面全体がどのように写るかを調べるには、行列 $A$ の行列式を計算します。行列式が0でない場合は平面全体に写り、0の場合は直線または原点に写ります。

行列 $A$ の行列式 $|A|$ は以下のように計算できます。

$|A| = (6 \times 1) - (2 \times 2) = 6 - 4 = 2$

行列式が0でないので、平面全体に写ります。

3. 最終的な答え

1. 平面全体