行列 $A$ と $B$ が与えられています。 $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix}$. これらの行列を適切にブロック分割し、それを用いて積 $AB$ を計算します。

1. 問題の内容

行列 $A$ と $B$ が与えられています。

$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,

$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix}$.

これらの行列を適切にブロック分割し、それを用いて積 $AB$ を計算します。

2. 解き方の手順

$A$ と $B$ を次のようにブロック分割します。

$A = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 \end{bmatrix}$,

$B = \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix}$,

ここで、

$A_1 = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & 4 & -2 \\ -1 & 7 & 2 \end{bmatrix}$,

$A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,

$B_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,

$B_2 = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix}$.

すると、$AB$ は次のように計算できます。

$AB = A_1 B_1 + A_2 B_2$

$A_1 B_1 = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & 4 & -2 \\ -1 & 7 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & 4 & -2 \\ -1 & 7 & 2 \end{bmatrix}$

$A_2 B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

したがって、$AB$ は、

$AB = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & 4 & -2 \\ -1 & 7 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 & 4 & 7 \\ 1 & -3 & 2 \\ 6 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-5 & -1+4 & 5+7 \\ 6+1 & 4-3 & -2+2 \\ -1+6 & 7+3 & 2+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 12 \\ 7 & 1 & 0 \\ 5 & 10 & 4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{bmatrix} -2 & 3 & 12 \\ 7 & 1 & 0 \\ 5 & 10 & 4 \end{bmatrix}$