$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{x+y}{3} = \frac{y+z}{4} = \frac{z+x}{5} = k$ とおく。すると、

$x+y = 3k$

$y+z = 4k$

$z+x = 5k$

これらを辺々足し合わせると、

$2(x+y+z) = 12k$

$x+y+z = 6k$

したがって、

$z = (x+y+z) - (x+y) = 6k - 3k = 3k$

$x = (x+y+z) - (y+z) = 6k - 4k = 2k$

$y = (x+y+z) - (z+x) = 6k - 5k = k$

これらを $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ に代入する。

$xy+yz+zx = (2k)(k) + (k)(3k) + (3k)(2k) = 2k^2 + 3k^2 + 6k^2 = 11k^2$

$x^2+y^2+z^2 = (2k)^2 + (k)^2 + (3k)^2 = 4k^2 + k^2 + 9k^2 = 14k^2$

よって、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{11k^2}{14k^2} = \frac{11}{14}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{14}$