画像には10個の小問と、三角形に関する2つの小問があります。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には10個の小問と、三角形に関する2つの小問があります。

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 - y^2 + 2y - 1$ を因数分解する。

　まず、$y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$ であることを利用して、式を次のように変形します。

　$4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - (y-1)^2$

　これは平方の差なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を用いて因数分解できます。

　$4x^2 - (y-1)^2 = (2x + (y-1))(2x - (y-1)) = (2x+y-1)(2x-y+1)$

(2) $a = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ 、 $b = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき、$a^2 + b^2$ を求める。

　まず、$a$ と $b$ をそれぞれ有理化します。

　$a = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 - 2\sqrt{6}$

　$b = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{3-2} = 5 + 2\sqrt{6}$

　次に、$a^2 + b^2$ を計算します。

　$a^2 = (5 - 2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$

　$b^2 = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 25 + 20\sqrt{6} + 24 = 49 + 20\sqrt{6}$

　$a^2 + b^2 = (49 - 20\sqrt{6}) + (49 + 20\sqrt{6}) = 98$

(3) 1000以下の正の整数のうち、3か5のどちらか一方だけで割り切れる数の個数を求める。

　3で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$

　5で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{1000}{5} \rfloor = 200$

　15で割り切れる数の個数: $\lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 66$

　3で割り切れるが5で割り切れない数の個数: $333 - 66 = 267$

　5で割り切れるが3で割り切れない数の個数: $200 - 66 = 134$

　合計: $267 + 134 = 401$

(4) 方程式 $x^2 - 5x + k = 0$ の解の一つが3の時、他の解を求める。

　$x=3$を方程式に代入すると、

　$3^2 - 5(3) + k = 0$

　$9 - 15 + k = 0$

　$k = 6$

　したがって、方程式は $x^2 - 5x + 6 = 0$ となる。

　因数分解すると $(x-2)(x-3) = 0$ となり、$x=2, 3$。

　他の解は2。

(5) すべての実数 $x$ に対して、不等式 $x^2 - 2ax + 3a > 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求める。

　判別式 $D = (-2a)^2 - 4(1)(3a) = 4a^2 - 12a < 0$

　$4a(a-3) < 0$

　したがって、 $0 < a < 3$

(6) 放物線 $y = 2x^2 + x + 3$ を平行移動した放物線が、点(1,5) (0,6) を通るとき、この放物線の方程式を求める。

　平行移動後の放物線の方程式は $y = 2(x-p)^2 + (x-p) + 3 + q$ と表せる。

　点(1,5)を通ることから $5 = 2(1-p)^2 + (1-p) + 3 + q$

　点(0,6)を通ることから $6 = 2(0-p)^2 + (0-p) + 3 + q$

　整理すると

　$2 = 2(1-p)^2 + (1-p) + q$

　$3 = 2p^2 - p + q$

　$q = 3 - 2p^2 + p$を上の式に代入

　$2 = 2(1-2p+p^2) + 1 - p + 3 - 2p^2 + p$

　$2 = 2 - 4p + 2p^2 + 1 - p + 3 - 2p^2 + p$

　$0 = -4p + 4$

　$p = 1$

　$q = 3 - 2 + 1 = 2$

　したがって、$y = 2(x-1)^2 + (x-1) + 3 + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) + x - 1 + 5 = 2x^2 - 4x + 2 + x + 4 = 2x^2 - 3x + 6$

　$y = 2x^2 - 3x + 6$

(7) 2次関数 $y = ax^2 + 2ax - a^2 + 5$ の最大値が3の時、$a$ の値を求める。

　$y = a(x^2 + 2x) - a^2 + 5 = a(x+1)^2 - a - a^2 + 5$

　$a < 0$ でないと最大値は存在しない。

　最大値は $-a - a^2 + 5 = 3$

　$a^2 + a - 2 = 0$

　$(a+2)(a-1) = 0$

　$a = -2, 1$

　$a < 0$ なので $a = -2$

(8) 1,1,1,2,2,3の6個の数字をすべて使ってできる6桁の整数の個数を求める。

　同じものを含む順列なので、$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \times 2 \times 1} = \frac{720}{12} = 60$

(9) 大中小の3個のサイコロを投げるとき、出る目の和が奇数となる確率を求める。

　3つのサイコロの目の合計が奇数になるのは、(奇,奇,奇) または (奇,偶,偶), (偶,奇,偶), (偶,偶,奇) の場合である。

　(奇,奇,奇): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

　(奇,偶,偶): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

　(偶,奇,偶): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

　(偶,偶,奇): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

　合計: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(10) $\sin 40^\circ = a$ の時、$\sin 50^\circ$ の値を $a$ を用いて表せ。

　$\sin 50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos 40^\circ$

　$\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1$ なので $\cos 40^\circ = \sqrt{1 - \sin^2 40^\circ} = \sqrt{1 - a^2}$

(1) $\triangle ABC$ において $BC=2$, $CA=3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

　$\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ なので $\sin^2 C = 1 - \cos^2 C = 1 - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

　$\sin C = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

　$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times CA \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

(2) $\triangle ABC$ において $BC=2$, $CA=3$, $\cos C = -\frac{1}{4}$ のとき、$\sin A$ の値を求めよ。

　余弦定理より

　$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \times BC \times CA \times \cos C = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times (-\frac{1}{4}) = 4 + 9 + 3 = 16$

　$AB = 4$

　正弦定理より

　$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

　$\frac{2}{\sin A} = \frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$

　$\sin A = 2 \times \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{2\sqrt{15}}{16} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $(2x+y-1)(2x-y+1)$

(2) 98

(3) 401

(4) 2

(5) $0 < a < 3$

(6) $y = 2x^2 - 3x + 6$

(7) $a = -2$

(8) 60

(9) $\frac{1}{2}$

(10) $\sqrt{1-a^2}$

(1) $\frac{3\sqrt{15}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{15}}{8}$