次の方程式を解く問題です。 (1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$ (2) $2^{-x} = \sqrt[3]{8}$ (3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$

(2) $2^{-x} = \sqrt[3]{8}$

(3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

2. 解き方の手順

(1) $3^{x+1} = 3\sqrt{3}$

まず、右辺を3のべき乗で表します。$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$なので、$3\sqrt{3} = 3^1 \times 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$となります。

したがって、$3^{x+1} = 3^{\frac{3}{2}}$となります。

指数部分を比較して、$x+1 = \frac{3}{2}$。

$x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

(2) $2^{-x} = \sqrt[3]{8}$

まず、右辺を簡単にします。$\sqrt[3]{8} = 2$。

したがって、$2^{-x} = 2^1$となります。

指数部分を比較して、$-x = 1$。

$x = -1$

(3) $4^x + 2 \times 2^x = 24$

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$なので、与えられた式は$(2^x)^2 + 2 \times 2^x = 24$となります。

ここで、$2^x = y$とおくと、$y^2 + 2y = 24$となります。

これを整理すると、$y^2 + 2y - 24 = 0$となります。

この二次方程式を解きます。$(y+6)(y-4) = 0$なので、$y = -6$または$y = 4$となります。

$y = 2^x$なので、$2^x$は常に正である必要があります。したがって、$y = -6$は解として不適です。

$2^x = 4$より、$2^x = 2^2$なので、$x = 2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = -1$

(3) $x = 2$