与えられた連立方程式を解きます。連立方程式は以下の通りです。 $x + y + z = 1$ $ax + by + cz = a + b + c$ $bcx + cay + abz = (a + b + c)^2$ ただし、$a \neq b$, $b \neq c$, $c \neq a$ が条件として与えられています。

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解きます。連立方程式は以下の通りです。

$x + y + z = 1$

$ax + by + cz = a + b + c$

$bcx + cay + abz = (a + b + c)^2$

ただし、$a \neq b$, $b \neq c$, $c \neq a$ が条件として与えられています。

2. 解き方の手順

まず、最初の式から、$x = 1 - y - z$ を得ます。この式を2番目と3番目の式に代入します。

2番目の式に代入すると、

$a(1 - y - z) + by + cz = a + b + c$

$a - ay - az + by + cz = a + b + c$

$(b - a)y + (c - a)z = b + c$

3番目の式に代入すると、

$bc(1 - y - z) + cay + abz = (a + b + c)^2$

$bc - bcy - bcz + cay + abz = (a + b + c)^2$

$(ca - bc)y + (ab - bc)z = (a + b + c)^2 - bc$

$c(a - b)y + b(a - c)z = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca - bc$

$c(a - b)y + b(a - c)z = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + bc + 2ca$

新しい連立方程式は以下のようになります。

$(b - a)y + (c - a)z = b + c$

$c(a - b)y + b(a - c)z = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + bc + 2ca$

一つ目の式に $c$ をかけると、$c(b - a)y + c(c - a)z = c(b + c)$

二つ目の式に一つ目の式を足すと、

$(b(a - c) + c(a - b))z = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + bc + 2ca + c(b + c)$

$(ab - bc + ca - bc)z = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca + c^2$

$(ab - 2bc + ca)z = a^2 + b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$z = \frac{a^2 + b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca}{ab - 2bc + ca}$

同様に $y$ を解くと、

$(b - a)y + (c - a)z = b + c$

に、$b$ をかけると、$b(b - a)y + b(c - a)z = b(b + c)$

二つ目の式に一つ目の式を足すと、

$(c(a - b) - b(a - c))y = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + bc + 2ca - b(b + c)$

$(ca - cb - ab + bc)y = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + bc + 2ca - b^2 - bc$

$(ca - cb - ab + bc)y = a^2 + c^2 + 2ab + 2ca$

$y = \frac{a^2 + c^2 + 2ab + 2ca}{ca - cb - ab + bc} = \frac{(a+c)^2}{(a-b)(c-b)}$

$y = \frac{a^2 + c^2 + 2a + 2c}{ca - ab}$

次に、$x = 1-y-z$ を解く。

$x = c$

$y = a$

$z = b$

3. 最終的な答え

$x = c$

$y = a$

$z = b$