(1) 1の4乗根を求める。つまり、方程式 $z^4 = 1$ を解く。 (2) 方程式 $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$ を解く。 (3) 方程式 $z^3 = 27i$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 1の4乗根を求める。つまり、方程式 $z^4 = 1$ を解く。

(2) 方程式 $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$ を解く。

(3) 方程式 $z^3 = 27i$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) 1の4乗根を求める。

$z^4 = 1$ を解く。$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より、

$z^4 = r^4 (\cos 4\theta + i\sin 4\theta) = 1 = 1 + 0i$.

したがって、$r^4 = 1$ より $r = 1$ （$r > 0$ より）。

$4\theta = 2k\pi$ (kは整数) より、$\theta = \frac{k\pi}{2}$。

$k=0, 1, 2, 3$ を代入すると、

$\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$.

$z_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$.

$z_1 = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} = i$.

$z_2 = \cos \pi + i\sin \pi = -1$.

$z_3 = \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2} = -i$.

(2) 方程式 $z^2 = -1 + \sqrt{3}i$ を解く。

$z = x + yi$ とおくと、$(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -1 + \sqrt{3}i$.

したがって、$x^2 - y^2 = -1$ かつ $2xy = \sqrt{3}$.

$y = \frac{\sqrt{3}}{2x}$ を $x^2 - y^2 = -1$ に代入すると、

$x^2 - \frac{3}{4x^2} = -1$ より、$4x^4 + 4x^2 - 3 = 0$.

$(2x^2 + 3)(2x^2 - 1) = 0$.

$x^2 = \frac{1}{2}$ より、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = -\frac{\sqrt{6}}{2}$.

したがって、$z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}}{2}i$ または $z = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$.

別の解法：

$z^2 = -1 + \sqrt{3}i = 2(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3})$.

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、$r^2 = 2$ より $r = \sqrt{2}$.

$2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ (kは整数) より、$\theta = \frac{\pi}{3} + k\pi$.

$k=0, 1$ を代入すると、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

$z_0 = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2} (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i$.

$z_1 = \sqrt{2} (\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}) = \sqrt{2} (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$.

(3) 方程式 $z^3 = 27i$ を解く。

$27i = 27(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2})$.

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、$r^3 = 27$ より $r = 3$.

$3\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (kは整数) より、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$.

$k=0, 1, 2$ を代入すると、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

$z_0 = 3 (\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}) = 3 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$.

$z_1 = 3 (\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6}) = 3 (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$.

$z_2 = 3 (\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}) = 3 (0 - i) = -3i$.

3. 最終的な答え

(1) 1, i, -1, -i

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i$, $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$

(3) $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$, $-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$, -3i