次の2つの指数方程式を解きます。 (1) $2^{x-1} = 4\sqrt{2}$ (2) $9^x + 3 \times 3^x - 4 = 0$

1. 問題の内容

次の2つの指数方程式を解きます。

(1) $2^{x-1} = 4\sqrt{2}$

(2) $9^x + 3 \times 3^x - 4 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、右辺を2の累乗で表します。

$4\sqrt{2} = 2^2 \times 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2}$

したがって、$2^{x-1} = 2^{5/2}$

指数部分を比較して、$x-1 = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{2} + 1 = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} = \frac{7}{2}$

(2)

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$なので、

$3^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、

$t^2 + 3t - 4 = 0$

$(t+4)(t-1) = 0$

$t = -4$ または $t = 1$

$t > 0$ より、$t = 1$

$3^x = 1$

$3^x = 3^0$

よって、$x = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{7}{2}$

(2) $x = 0$