2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ で表される放物線 $C$ について、以下の問いに答える。 (1) $x = -\frac{1}{2}$ のときの $y$ の値を求める。また、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求める。 (2) $a = 1$ のとき、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求める。 (3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求める。 (4) 放物線 $C$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (5) $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が4であるとき、$a$ の値を求める。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ で表される放物線 $C$ について、以下の問いに答える。

(1) $x = -\frac{1}{2}$ のときの $y$ の値を求める。また、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求める。

(2) $a = 1$ のとき、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求める。

(3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求める。

(4) 放物線 $C$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(5) $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が4であるとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x = -\frac{1}{2}$ を $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ に代入する。

$y = 2(-\frac{1}{2})^2 - 4a(-\frac{1}{2}) - a + 1 = 2(\frac{1}{4}) + 2a - a + 1 = \frac{1}{2} + a + 1 = a + \frac{3}{2}$

よって、解答番号7はイ。

次に、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求めるために、$y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 2ax) - a + 1 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a + 1 = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$

頂点の $y$ 座標は $-2a^2 - a + 1$ である。よって、解答番号8はイ。

(2) $a = 1$ のとき、$y = 2x^2 - 4x$ である。

平方完成すると、$y = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2(x - 1)^2 - 2$

頂点は $(1, -2)$ である。

これを $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、頂点は $(1 - 3, -2 + 2) = (-2, 0)$ となる。

よって、解答番号9はイ。

(3) 頂点の $y$ 座標は $-2a^2 - a + 1$ である。$f(a) = -2a^2 - a + 1$ とおく。

$-1 \le a \le 1$ における $f(a)$ の最小値を求める。

$f(a) = -2(a^2 + \frac{1}{2}a) + 1 = -2(a^2 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{16} - \frac{1}{16}) + 1 = -2(a + \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8} + 1 = -2(a + \frac{1}{4})^2 + \frac{9}{8}$

$a = -1$ のとき、$f(-1) = -2(-1)^2 - (-1) + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$

$a = 1$ のとき、$f(1) = -2(1)^2 - 1 + 1 = -2$

$a = -\frac{1}{4}$ のとき、$f(-\frac{1}{4}) = \frac{9}{8}$

$-1 \le a \le 1$ なので、$a = 1$ のとき最小値 $-2$ をとる。よって、解答番号10はア。

(4) $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つ条件を求める。

$f(x) = 2x^2 - 4ax - a + 1$ とおく。

(i) 判別式 $D > 0$

$D = (-4a)^2 - 4(2)(-a + 1) = 16a^2 + 8a - 8 > 0$

$2a^2 + a - 1 > 0$

$(2a - 1)(a + 1) > 0$

$a < -1$ または $a > \frac{1}{2}$

(ii) 軸 $-1 < \frac{4a}{4} < 1$

$-1 < a < 1$

(iii) $f(-1) > 0$

$2(-1)^2 - 4a(-1) - a + 1 > 0$

$2 + 4a - a + 1 > 0$

$3a + 3 > 0$

$a > -1$

(iv) $f(1) > 0$

$2(1)^2 - 4a(1) - a + 1 > 0$

$2 - 4a - a + 1 > 0$

$-5a + 3 > 0$

$a < \frac{3}{5}$

(i)〜(iv)より、$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{5}$。 よって、解答番号11はエ。

(5) $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が4であるとき、$a$ の値を求める。

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$

軸は $x = a$ である。

(i) $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y = 2(0 - a)^2 - 2a^2 - a + 1 = 2a^2 - 2a^2 - a + 1 = -a + 1 = 4$

$a = -3$

これは $a < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

(a) $a \le 1$ のとき、$x = 2$ で最大値をとる。

$y = 2(2 - a)^2 - 2a^2 - a + 1 = 2(4 - 4a + a^2) - 2a^2 - a + 1 = 8 - 8a + 2a^2 - 2a^2 - a + 1 = -9a + 9 = 4$

$-9a = -5$

$a = \frac{5}{9}$

これは $0 \le a \le 1$ を満たす。

(b) $a > 1$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y = 2(0 - a)^2 - 2a^2 - a + 1 = 2a^2 - 2a^2 - a + 1 = -a + 1 = 4$

$a = -3$

これは $a > 1$ を満たさない。

(iii) $a > 2$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y = 2(0 - a)^2 - 2a^2 - a + 1 = 2a^2 - 2a^2 - a + 1 = -a + 1 = 4$

$a = -3$

これは $a > 2$ を満たさない。

よって、$a = -3$ または $a = \frac{5}{9}$

選択肢より、$a = \frac{5}{9}$ が答えとなる。 よって、解答番号12はエ。

3. 最終的な答え

7: イ

8: イ

9: イ

10: ア

11: エ

12: エ