$a$ を実数の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ について、以下の設問に答えよ。 (1) $x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y$ の値を求めよ。また、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求めよ。 (2) $a = 1$ のとき、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ。 (3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求めよ。 (4) 放物線 $C$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。 (5) $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ について、以下の設問に答えよ。

(1) $x = -\frac{1}{2}$ のとき、$y$ の値を求めよ。また、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求めよ。

(2) $a = 1$ のとき、放物線 $C$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ。

(3) $-1 \le a \le 1$ のとき、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標の最小値を求めよ。

(4) 放物線 $C$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つような $a$ の値の範囲を求めよ。

(5) $0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が $4$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x = -\frac{1}{2}$ を $y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ に代入する。

$y = 2(-\frac{1}{2})^2 - 4a(-\frac{1}{2}) - a + 1 = 2(\frac{1}{4}) + 2a - a + 1 = \frac{1}{2} + a + 1 = a + \frac{3}{2}$

次に、放物線 $C$ の頂点の $y$ 座標を求める。

$y = 2x^2 - 4ax - a + 1 = 2(x^2 - 2ax) - a + 1 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - a + 1 = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$

よって、頂点の座標は $(a, -2a^2 - a + 1)$ なので、$y$ 座標は $-2a^2 - a + 1$ である。

(2)

$a = 1$ のとき、放物線 $C$ は $y = 2(x - 1)^2 - 2(1)^2 - 1 + 1 = 2(x - 1)^2 - 2$ となる。

頂点の座標は $(1, -2)$ である。

$x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動すると、頂点の座標は $(1 - 3, -2 + 2) = (-2, 0)$ となる。

(3)

頂点の $y$ 座標は $-2a^2 - a + 1$ である。

$-1 \le a \le 1$ の範囲で、この $y$ 座標の最小値を求める。

$f(a) = -2a^2 - a + 1$ とすると、$f'(a) = -4a - 1$ である。

$f'(a) = 0$ とすると、$-4a - 1 = 0$ より $a = -\frac{1}{4}$ となる。

$f(-1) = -2(-1)^2 - (-1) + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$

$f(-\frac{1}{4}) = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 1 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8}$

$f(1) = -2(1)^2 - 1 + 1 = -2$

よって、最小値は $-2$ である。

(4)

$y = 2x^2 - 4ax - a + 1$ が $x$ 軸の $-1 < x < 1$ の部分と異なる2つの共有点を持つ条件は、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $-1 < a < 1$

(iii) $f(-1) > 0$

(iv) $f(1) > 0$

(i) $D = (-4a)^2 - 4(2)(-a + 1) = 16a^2 + 8a - 8 > 0$

$2a^2 + a - 1 > 0$

$(2a - 1)(a + 1) > 0$

$a < -1$ または $a > \frac{1}{2}$

(ii) $-1 < a < 1$

(iii) $f(-1) = 2(-1)^2 - 4a(-1) - a + 1 = 2 + 4a - a + 1 = 3a + 3 > 0$

$a > -1$

(iv) $f(1) = 2(1)^2 - 4a(1) - a + 1 = 2 - 4a - a + 1 = -5a + 3 > 0$

$a < \frac{3}{5}$

(i)～(iv) を満たす $a$ の範囲は、$\frac{1}{2} < a < \frac{3}{5}$ である。

(5)

$y = 2(x - a)^2 - 2a^2 - a + 1$ の頂点の $x$ 座標は $a$ である。

$0 \le x \le 2$ における $y$ の最大値が $4$ である。

(i) $a < 0$ のとき、$x = 0$ で最大値をとる。

$y(0) = -a + 1 = 4$ より $a = -3$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、

(a) $a$ が $0$ に近いとき、$x = 2$ で最大値をとる。$y(2) = 2(2-a)^2 - a + 1 = 4$。

(b) $a$ が $2$ に近いとき、$x = 0$ で最大値をとる。$y(0) = 2a^2-a+1$

(iii) $a > 2$ のとき、$x = 2$ で最大値をとる。

$y(2) = 2(2-a)^2 - a + 1 = 4$

$2(4 - 4a + a^2) - a + 1 = 4$

$8 - 8a + 2a^2 - a + 1 = 4$

$2a^2 - 9a + 5 = 0$

$a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 40}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{41}}{4}$

$a = \frac{9 + \sqrt{41}}{4} > 2$ または $a = \frac{9 - \sqrt{41}}{4} < 2$

$y(0)=-a+1=4$ なのでa=-

3.

3. 最終的な答え

7: エ. $a+\frac{3}{2}$

8: イ. $-2a^2-a+1$

9: イ. $(-2,0)$

10: ア. $-2$

11: ウ. $\frac{1}{2} < a < \frac{3}{5}$

12: ア. $-3$