与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が(2, 3)で、点(1, 1)を通る。 (2) 軸がx = -1で、2点(0, 3), (1, 0)を通る。 (3) 3点(-1, 6), (1, -2), (4, 1)を通る。 (4) 点(2, 0)でx軸に接し、点(3, -3)を通る。 (5) x軸との交点が(-1, 0), (2, 0)で、点(3, 8)を通る。 (6) 頂点がy = -x上にあって、2点(-1, 3), (2, 0)を通る。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が(2, 3)で、点(1, 1)を通る。

(2) 軸がx = -1で、2点(0, 3), (1, 0)を通る。

(3) 3点(-1, 6), (1, -2), (4, 1)を通る。

(4) 点(2, 0)でx軸に接し、点(3, -3)を通る。

(5) x軸との交点が(-1, 0), (2, 0)で、点(3, 8)を通る。

(6) 頂点がy = -x上にあって、2点(-1, 3), (2, 0)を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(2, 3)であることから、2次関数は $y = a(x-2)^2 + 3$ と表せる。点(1, 1)を通るから、

$1 = a(1-2)^2 + 3$

$1 = a + 3$

$a = -2$

よって、$y = -2(x-2)^2 + 3 = -2(x^2 - 4x + 4) + 3 = -2x^2 + 8x - 8 + 3 = -2x^2 + 8x - 5$

(2) 軸がx = -1であることから、2次関数は $y = a(x+1)^2 + q$ と表せる。点(0, 3), (1, 0)を通るから、

$3 = a(0+1)^2 + q = a + q$

$0 = a(1+1)^2 + q = 4a + q$

2式の差をとると、

$3 = -3a$

$a = -1$

$q = 3 - a = 3 - (-1) = 4$

よって、$y = -(x+1)^2 + 4 = -(x^2 + 2x + 1) + 4 = -x^2 - 2x - 1 + 4 = -x^2 - 2x + 3$

(3) 2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。3点(-1, 6), (1, -2), (4, 1)を通るから、

$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$

$1 = a(4)^2 + b(4) + c = 16a + 4b + c$

2式の差をとると、

$8 = -2b$

$b = -4$

$6 = a + 4 + c$

$-2 = a - 4 + c$

2式の差をとると、

$8 = 8$ (この式ではaとcは求まらない)

$1 = 16a + 4(-4) + c = 16a - 16 + c$

$c = 2 - a$

$6 = a + 4 + 2 - a$

$6 = 6$ (この式も成り立ってしまう)

$1 = 16a - 16 + 2 - a = 15a - 14$

$15 = 15a$

$a = 1$

$c = 2 - 1 = 1$

よって、$y = x^2 - 4x + 1$

(4) 点(2, 0)でx軸に接することから、2次関数は $y = a(x-2)^2$ と表せる。点(3, -3)を通るから、

$-3 = a(3-2)^2 = a$

$a = -3$

よって、$y = -3(x-2)^2 = -3(x^2 - 4x + 4) = -3x^2 + 12x - 12$

(5) x軸との交点が(-1, 0), (2, 0)であることから、2次関数は $y = a(x+1)(x-2)$ と表せる。点(3, 8)を通るから、

$8 = a(3+1)(3-2) = 4a$

$a = 2$

よって、$y = 2(x+1)(x-2) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4$

(6) 頂点がy = -x上にあるから、頂点の座標を(p, -p)とおくと、2次関数は $y = a(x-p)^2 - p$ と表せる。点(-1, 3), (2, 0)を通るから、

$3 = a(-1-p)^2 - p$

$0 = a(2-p)^2 - p$

$p = a(2-p)^2$

$3 = a(p+1)^2 - a(2-p)^2 = a[(p+1)^2 - (2-p)^2] = a[p^2 + 2p + 1 - (4 - 4p + p^2)] = a[6p - 3] = 3a(2p - 1)$

$1 = a(2p-1)$

$a = \frac{1}{2p-1}$

$p = a(2-p)^2 = \frac{(2-p)^2}{2p-1}$

$p(2p-1) = 4 - 4p + p^2$

$2p^2 - p = 4 - 4p + p^2$

$p^2 + 3p - 4 = 0$

$(p+4)(p-1) = 0$

$p = -4, 1$

$p = -4$のとき、$a = \frac{1}{2(-4) - 1} = -\frac{1}{9}$

$p = 1$のとき、$a = \frac{1}{2(1) - 1} = 1$

$p = -4$のとき、$y = -\frac{1}{9}(x+4)^2 + 4$

$p = 1$のとき、$y = (x-1)^2 - 1 = x^2 - 2x + 1 - 1 = x^2 - 2x$

点(-1, 3)を通るとき、

$3 = (-1)^2 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

点(2, 0)を通るとき、

$0 = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$

なので、$y = x^2 - 2x$ は条件を満たす。

$p = -4$ の場合、

$y = -\frac{1}{9}(x+4)^2 + 4$

点(-1, 3)を通るとき、

$y = -\frac{1}{9}(-1+4)^2 + 4 = -\frac{1}{9}(9) + 4 = -1 + 4 = 3$

点(2, 0)を通るとき、

$y = -\frac{1}{9}(2+4)^2 + 4 = -\frac{1}{9}(36) + 4 = -4 + 4 = 0$

なので、$y = -\frac{1}{9}(x+4)^2 + 4$ も条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 5$

(2) $y = -x^2 - 2x + 3$

(3) $y = x^2 - 4x + 1$

(4) $y = -3x^2 + 12x - 12$

(5) $y = 2x^2 - 2x - 4$

(6) $y = x^2 - 2x$ または $y = -\frac{1}{9}(x+4)^2 + 4$