$x$ と $y$ を未知数とする連立方程式 $\begin{cases} x - ay = -2 \\ 2x + y = 1 + a \end{cases}$ が与えられています。ただし、$a > -1/2$ とします。この連立方程式が表す2つの直線の交点が、第1象限、第2象限、第4象限にあるための $a$ の条件を、与えられた選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ を未知数とする連立方程式

$\begin{cases}

x - ay = -2 \\

2x + y = 1 + a

\end{cases}$

が与えられています。ただし、$a > -1/2$ とします。この連立方程式が表す2つの直線の交点が、第1象限、第2象限、第4象限にあるための $a$ の条件を、与えられた選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、連立方程式を解きます。第2式から $y = 1 + a - 2x$ を得ます。これを第1式に代入すると、

$x - a(1 + a - 2x) = -2$

$x - a - a^2 + 2ax = -2$

$(1 + 2a)x = a^2 + a - 2$

したがって、$x = \frac{a^2 + a - 2}{1 + 2a} = \frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a}$ となります。

次に、$y$ を求めます。

$y = 1 + a - 2x = 1 + a - 2 \cdot \frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a} = \frac{(1 + a)(1 + 2a) - 2(a^2 + a - 2)}{1 + 2a} = \frac{1 + 3a + 2a^2 - 2a^2 - 2a + 4}{1 + 2a} = \frac{a + 5}{1 + 2a}$

よって、連立方程式の解は

$\begin{cases}

x = \frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a} \\

y = \frac{a + 5}{1 + 2a}

\end{cases}$

(2) 交点が第1象限にある条件は、$x > 0$ かつ $y > 0$ です。

$x > 0$ より $\frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a} > 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$(a + 2)(a - 1) > 0$。これより、$a > 1$。したがって、$a > 1$。

$y > 0$ より $\frac{a + 5}{1 + 2a} > 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$a + 5 > 0$。これより、$a > -5$。

$a > 1$ かつ $a > -5$ なので、$a > 1$ が第1象限にある条件です。

(3) 交点が第2象限にある条件は、$x < 0$ かつ $y > 0$ です。

$x < 0$ より $\frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a} < 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$(a + 2)(a - 1) < 0$。これより、$-2 < a < 1$。$a > -1/2$ の条件と合わせると、$-1/2 < a < 1$。

$y > 0$ より $\frac{a + 5}{1 + 2a} > 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$a + 5 > 0$。これより、$a > -5$。

$-1/2 < a < 1$ かつ $a > -5$ なので、$-1/2 < a < 1$ が第2象限にある条件です。

(4) 交点が第4象限にある条件は、$x > 0$ かつ $y < 0$ です。

$x > 0$ より $\frac{(a + 2)(a - 1)}{1 + 2a} > 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$(a + 2)(a - 1) > 0$。これより、$a > 1$。

$y < 0$ より $\frac{a + 5}{1 + 2a} < 0$。$a > -1/2$ なので、$1 + 2a > 0$。よって、$a + 5 < 0$。これより、$a < -5$。

$a > 1$ かつ $a < -5$ を満たす $a$ は存在しません。

したがって、

[2] は 4 ($a > 1$)

[3] は 2 ($-1/2 < a < 1$)

[4] は 5 (そのようなaの範囲は存在しない)

3. 最終的な答え

[2]: 4

[3]: 2

[4]: 5