複素数 $\alpha = 1-i$ と $\beta = -3 + \sqrt{3}i$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。 (1) $|\alpha\beta|$ と $|\frac{\alpha}{\beta}|$ の値を求めます。 (2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。 (3) $\alpha^7$ の値を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1-i$ と $\beta = -3 + \sqrt{3}i$ が与えられたとき、以下の問いに答えます。

(1) $|\alpha\beta|$ と $|\frac{\alpha}{\beta}|$ の値を求めます。

(2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表します。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \leq \theta < 2\pi$ とします。

(3) $\alpha^7$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha\beta|$ と $|\frac{\alpha}{\beta}|$ の値を求める。

まず、$\alpha$ と $\beta$ の絶対値を求めます。

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$|\beta| = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

次に、絶対値の性質を利用します。

$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta| = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{6}$

$|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{|\alpha|}{|\beta|} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

(2) $\alpha\beta$ と $\frac{\alpha}{\beta}$ を極形式で表す。

$\alpha = 1 - i = \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4})$

$\beta = -3 + \sqrt{3}i = 2\sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

$\alpha\beta = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} (\cos(\frac{7\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{4} + \frac{5\pi}{6})) = 2\sqrt{6} (\cos(\frac{21\pi+10\pi}{12}) + i\sin(\frac{21\pi+10\pi}{12})) = 2\sqrt{6} (\cos(\frac{31\pi}{12}) + i\sin(\frac{31\pi}{12})) = 2\sqrt{6}(\cos(\frac{7\pi}{12}) + i\sin(\frac{7\pi}{12}))$

$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} (\cos(\frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{7\pi}{4} - \frac{5\pi}{6})) = \frac{\sqrt{6}}{6} (\cos(\frac{21\pi-10\pi}{12}) + i\sin(\frac{21\pi-10\pi}{12})) = \frac{\sqrt{6}}{6}(\cos(\frac{11\pi}{12}) + i\sin(\frac{11\pi}{12}))$

(3) $\alpha^7$ の値を求める。

$\alpha = 1 - i = \sqrt{2}(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4})$

$\alpha^7 = (\sqrt{2})^7 (\cos(7\cdot\frac{7\pi}{4}) + i\sin(7\cdot\frac{7\pi}{4})) = 8\sqrt{2} (\cos(\frac{49\pi}{4}) + i\sin(\frac{49\pi}{4})) = 8\sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 8\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 8(1 + i) = 8 + 8i$

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha\beta| = 2\sqrt{6}$, $|\frac{\alpha}{\beta}| = \frac{\sqrt{6}}{6}$

(2) $\alpha\beta = 2\sqrt{6}(\cos\frac{7\pi}{12} + i\sin\frac{7\pi}{12})$, $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\sqrt{6}}{6}(\cos\frac{11\pi}{12} + i\sin\frac{11\pi}{12})$

(3) $\alpha^7 = 8 + 8i$