(1) 3x3行列 $\begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 5 & 8 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を求めます。 (2) 4x4行列 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を求めます。 (3) 同次連立一次方程式 $\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ -2x + 3y - 2z = 0 \\ -x + ky + 2z = 0 \end{cases}$ が非自明な解を持つような $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 3x3行列 $\begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 5 & 8 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を求めます。

(2) 4x4行列 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ の行列式を求めます。

(3) 同次連立一次方程式

$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ -2x + 3y - 2z = 0 \\ -x + ky + 2z = 0 \end{cases}$

が非自明な解を持つような $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

3x3行列の行列式は次のように計算します。

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

与えられた行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 5 & 8 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 1(8 \cdot 1 - 2 \cdot (-3)) - 4(5 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + (-2)(5 \cdot (-3) - 8 \cdot 2) = 1(8 + 6) - 4(5 - 4) - 2(-15 - 16) = 14 - 4 + 62 = 72$

(2)

4x4行列の行列式を計算します。まず、1列について余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 & 1 \\ 3 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}$

それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2(0 \cdot 1 - 2 \cdot 3) - 4(0 \cdot 1 - 2 \cdot 4) + 1(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) = -12 + 32 + 0 = 20$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 4) + 2(0 \cdot 3 - 0 \cdot 4) = 8$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 4) + 2(2 \cdot 3 - 4 \cdot 4) = 2 - 20 = -18$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 1(2 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + 2(2 \cdot 0 - 4 \cdot 0) = -4$

したがって、元の行列の行列式は $1 \cdot 20 - 1 \cdot 8 + 3 \cdot (-18) - 2 \cdot (-4) = 20 - 8 - 54 + 8 = -34$

(3)

同次連立一次方程式が非自明な解を持つためには、係数行列の行列式が0でなければなりません。

係数行列は $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & k & 2 \end{pmatrix}$ です。

この行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 3 & -2 \\ -1 & k & 2 \end{vmatrix} = 1(3 \cdot 2 - (-2) \cdot k) - 1((-2) \cdot 2 - (-2) \cdot (-1)) + 2((-2) \cdot k - 3 \cdot (-1)) = (6 + 2k) - (-4 - 2) + 2(-2k + 3) = 6 + 2k + 6 - 4k + 6 = 18 - 2k$

これが0になるように $k$ を求めます。

$18 - 2k = 0$

$2k = 18$

$k = 9$

3. 最終的な答え

(1) 72

(2) -34

(3) k = 9