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与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。 (1) 連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x+y-3z=-5 \\ -x-2y+3z=4 \\ x+3y-2z=1 \end{cases} $ の解を掃き出し法を用いて求める。 (2) 連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x-y-z=3 \\ -3x+2y+z=-4 \\ x-z=2 \end{cases} $ の解を掃き出し法を用いて求める。 (3) (2) と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式 $ \begin{cases} 2x-y-z=0 \\ -3x+2y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases} $ の解を求める。 (4) 行列 $ \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix} $ のランク（階数）を求める。

代数学線形代数連立一次方程式掃き出し法行列ランク
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。
(1) 連立一次方程式 {2x+y−3z=−5−x−2y+3z=4x+3y−2z=1 \begin{cases} 2x+y-3z=-5 \\ -x-2y+3z=4 \\ x+3y-2z=1 \end{cases} の解を掃き出し法を用いて求める。
(2) 連立一次方程式 {2x−y−z=3−3x+2y+z=−4x−z=2 \begin{cases} 2x-y-z=3 \\ -3x+2y+z=-4 \\ x-z=2 \end{cases} の解を掃き出し法を用いて求める。
(3) (2) と同じ係数行列を持つ同次連立一次方程式 {2x−y−z=0−3x+2y+z=0x−z=0 \begin{cases} 2x-y-z=0 \\ -3x+2y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases} の解を求める。
(4) 行列 (22−1002−14−100214−26) \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix} のランク（階数）を求める。

2. 解き方の手順

(1) 掃き出し法を用いて解く。
まず、拡大係数行列を作成します。
(21−3−5−1−23413−21) \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & -5 \\ -1 & -2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
(13−21−1−23421−3−5) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ -1 & -2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & -3 & -5 \end{pmatrix}
2行目に1行目を足します。
(13−21011521−3−5) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & -3 & -5 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引きます。
(13−2101150−51−7) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -5 & 1 & -7 \end{pmatrix}
3行目に2行目の5倍を足します。
(13−21011500618) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 18 \end{pmatrix}
3行目を6で割ります。
(13−2101150013) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
2行目から3行目を引きます。
(13−2101020013) \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
1行目に3行目の2倍を足します。
(130701020013) \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
1行目から2行目の3倍を引きます。
(100101020013) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
したがって、x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3
(2) 掃き出し法を用いて解く。
まず、拡大係数行列を作成します。
(2−1−13−321−410−12) \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & 1 & -4 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
(10−12−321−42−1−13) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 1 & -4 \\ 2 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
2行目に1行目の3倍を足します。
(10−1202−222−1−13) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引きます。
(10−1202−220−11−1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
2行目を2で割ります。
(10−1201−110−11−1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
3行目に2行目を足します。
(10−1201−110000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
したがって、x=z+2x = z + 2, y=z+1y = z + 1。z=tz = t とすると、x=t+2x = t + 2, y=t+1y = t + 1, z=tz = t
(3) 同次連立一次方程式の解を求める。
係数行列は(2)と同じなので、{2x−y−z=0−3x+2y+z=0x−z=0 \begin{cases} 2x-y-z=0 \\ -3x+2y+z=0 \\ x-z=0 \end{cases}
まず、拡大係数行列を作成します。
(2−1−10−321010−10) \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
(10−10−32102−1−10) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
2行目に1行目の3倍を足します。
(10−1002−202−1−10) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引きます。
(10−1002−200−110) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
2行目を2で割ります。
(10−1001−100−110) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
3行目に2行目を足します。
(10−1001−100000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
したがって、x=zx = z, y=zy = z。z=tz = t とすると、x=tx = t, y=ty = t, z=tz = t。
(4) 行列のランクを求める。
与えられた行列は (22−1002−14−100214−26) \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}
3行目を-1倍して1行目と入れ替える
(100−202−1422−1014−26) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引く
(100−202−1402−1414−26) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix}
4行目から1行目を引く
(100−202−1402−1404−28) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 4 & -2 & 8 \end{pmatrix}
4行目から2行目の2倍を引く
(100−202−1402−140000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
3行目から2行目を引く
(100−202−1400000000) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
ランクは2

3. 最終的な答え

(1) x=1,y=2,z=3x=1, y=2, z=3
(2) x=t+2,y=t+1,z=tx=t+2, y=t+1, z=t (tは任意)
(3) x=t,y=t,z=tx=t, y=t, z=t (tは任意)
(4) 2

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