2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \frac{1}{\beta}$ と $\beta + \frac{1}{\alpha}$ を解にもつ2次方程式で、係数が最も簡単な整数であるものを求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha + \frac{1}{\beta}$ と $\beta + \frac{1}{\alpha}$ を解にもつ2次方程式で、係数が最も簡単な整数であるものを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求める。

次に、$\alpha + \frac{1}{\beta}$ と $\beta + \frac{1}{\alpha}$ の和と積を計算する。

最後に、それらを用いて、求める2次方程式を作る。

$2x^2 - 4x + 1 = 0$ の解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{-(-4)}{2} = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

$\alpha + \frac{1}{\beta}$ と $\beta + \frac{1}{\alpha}$ の和は、

$\alpha + \frac{1}{\beta} + \beta + \frac{1}{\alpha} = \alpha + \beta + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \alpha + \beta + \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$

$= 2 + \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 + 2 \times 2 = 2 + 4 = 6$

$\alpha + \frac{1}{\beta}$ と $\beta + \frac{1}{\alpha}$ の積は、

$(\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha \beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha \beta} = \alpha \beta + 2 + \frac{1}{\alpha \beta}$

$= \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2}$

よって、求める2次方程式は、

$x^2 - (\alpha + \frac{1}{\beta} + \beta + \frac{1}{\alpha})x + (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = 0$

$x^2 - 6x + \frac{9}{2} = 0$

係数を整数にするために、2倍する。

$2x^2 - 12x + 9 = 0$

3. 最終的な答え

$2x^2 - 12x + 9 = 0$