2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 12 = 0$ が与えられています。以下の3つの条件を満たすように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの正の解をもつ (2) 異なる2つの負の解をもつ (3) 正の解と負の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 12 = 0$ が与えられています。以下の3つの条件を満たすように、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの正の解をもつ

(2) 異なる2つの負の解をもつ

(3) 正の解と負の解をもつ

2. 解き方の手順

2次関数 $f(x) = x^2 - 2mx + m + 12$ のグラフを考えます。判別式を $D$ とし、$f(x) = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とします。

(1) 異なる2つの正の解をもつ場合

この条件を満たすためには、以下の3つの条件が同時に成り立つ必要があります。

(i) $D > 0$ （異なる2つの実数解をもつ）

(ii) $\alpha + \beta > 0$ （解の和が正である）

(iii) $\alpha \beta > 0$ （解の積が正である）

判別式は $D = (-2m)^2 - 4(m + 12) = 4m^2 - 4m - 48 = 4(m^2 - m - 12) = 4(m - 4)(m + 3)$ です。したがって、$D > 0$ より、$(m - 4)(m + 3) > 0$ なので、$m < -3$ または $m > 4$。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2m$ なので、$\alpha + \beta > 0$ より $2m > 0$ となり、$m > 0$。

$\alpha \beta = m + 12$ なので、$\alpha \beta > 0$ より $m + 12 > 0$ となり、$m > -12$。

以上の条件をすべて満たす $m$ の範囲は、$m > 4$。

(2) 異なる2つの負の解をもつ場合

この条件を満たすためには、以下の3つの条件が同時に成り立つ必要があります。

(i) $D > 0$ （異なる2つの実数解をもつ）

(ii) $\alpha + \beta < 0$ （解の和が負である）

(iii) $\alpha \beta > 0$ （解の積が正である）

(1)と同様に、$D > 0$ より $m < -3$ または $m > 4$。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2m$ なので、$\alpha + \beta < 0$ より $2m < 0$ となり、$m < 0$。

$\alpha \beta = m + 12$ なので、$\alpha \beta > 0$ より $m + 12 > 0$ となり、$m > -12$。

以上の条件をすべて満たす $m$ の範囲は、$-12 < m < -3$。

(3) 正の解と負の解をもつ場合

この条件を満たすためには、$\alpha \beta < 0$ が成り立つ必要があります。

$\alpha \beta = m + 12$ なので、$m + 12 < 0$ となり、$m < -12$。

3. 最終的な答え

(1) $m > 4$

(2) $-12 < m < -3$

(3) $m < -12$