$a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを証明し、また、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

$a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを証明し、また、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の大小関係を利用して証明する。

まず、$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ を考える。なぜなら、実数の2乗は常に0以上だからである。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$

したがって、

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

両辺を2で割ると、

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

これで不等式が成り立つことが証明できた。

次に、等号が成り立つ条件を考える。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$ のとき、等号が成り立つ。

つまり、$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ のとき。

$\sqrt{a} = \sqrt{b}$

$a = b$

したがって、$a = b$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ。等号が成り立つのは $a = b$ のとき。