(1) $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを答える。 (2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

(1) $a \geq 0$, $b \geq 0$ のとき、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つことを示し、等号が成り立つときを答える。

(2) $a > 0$, $b > 0$ のとき、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) 相加平均と相乗平均の関係を示す問題です。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$ を展開すると、

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

$a+b \geq 2\sqrt{ab}$

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

したがって、$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$ すなわち、$a=b$ のときである。

(2) $(1)$を利用して証明する方法と、直接証明する方法があります。ここでは直接証明する方法で解きます。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$

$a > 0, b > 0$ より $ab > 0$ であり、$(a-b)^2 \geq 0$ であるから、

$\frac{(a-b)^2}{ab} \geq 0$

よって、$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 \geq 0$

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ は成り立つ。等号が成り立つのは $a=b$ のとき。

(2) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ は成り立つ。