自然数が規則的に並んだ表において、上から2段目、左からn列目の数を含む斜め3つの数の和を、$n$を用いて表す問題です。ただし、$n$は2以上の自然数とします。

1. 問題の内容

自然数が規則的に並んだ表において、上から2段目、左からn列目の数を含む斜め3つの数の和を、$n$を用いて表す問題です。ただし、$n$は2以上の自然数とします。

2. 解き方の手順

まず、表の数の並び方の規則性を見つけます。

* 1段目の数は、1, 6, 7, 12,... と並んでおり、5ずつ増えています。

* 2段目の数は、2, 5, 8, 11,... と並んでおり、3ずつ増えています。

* 3段目の数は、3, 4, 9, 10,... と並んでおり、1, 5, 1ずつ増えています。

求める和は、上から2段目、左から$n$列目の数を含む斜め3つの数の和です。

この斜め3つの数は、

* 1段目、$n-1$列目の数

* 2段目、$n$列目の数

* 3段目、$n+1$列目の数

です。

1段目、$n-1$列目の数を$a_1$、2段目、$n$列目の数を$a_2$、3段目、$n+1$列目の数を$a_3$とします。

$a_2$を求めます。2段目の数は、2, 5, 8, 11,...と並んでいるので、一般項は$3(n-1) + 2 = 3n - 1$となります。

$a_1$を求めます。1段目の数は、1, 6, 7, 12,...と並んでいます。

2段目の1列目の数との差は1です。2段目のn列目は、$3n-1$なので、$a_1 = 3(n-1) - 1 + 1 + 2 = 3n - 3$で表されます。

よって、$a_1 = 3(n-1) - 1 + 1 + 2 = 3n - 3$

$a_3$を求めます。3段目の数は、3, 4, 9, 10,...と並んでいますが、規則性を見つけるのが難しいです。

1列目の数は、1, 2, 3。2列目の数は、6, 5, 4。3列目の数は、7, 8, 9。4列目の数は、12, 11, 10。

各列を足すと、

1列目：1 + 2 + 3 = 6

2列目：6 + 5 + 4 = 15

3列目：7 + 8 + 9 = 24

4列目：12 + 11 + 10 = 33

なので、公差9の等差数列です。

一般項は、$9(n-1) + 6 = 9n - 3$

求める和は、$a_1 + a_2 + a_3$です。

$a_1= 6 - 5(2-n)$

$a_2= 2 + 3(n-1) = 3n - 1$

$a_3= 3 + (5)(3-n)=3 -5n+10 + 5(2-n) - 2= 13-5n$

$a_1 + a_2 + a_3 = 6 - 5(2-n) + 3n - 1 + 3 + 5(2-n) = 8n +8$

上記の解法は間違いです。以下が正しい解き方です。

2段目の $n$ 列目の数は $3n - 1$。

1段目の $n-1$ 列目の数は、$6 + 5(n-2) = 5n - 4$

3段目の $n+1$ 列目の数は、$3 + (n-1) + 5(truncate((n-1)/2)) = n + 2$ （nが偶数の時） $3 + (n-1) + 5(truncate((n-2)/2)) = 3(n-1) + 3 + (n-1) -n$ （nが奇数の時）と表すのは難しいので、

$n$に関する一次式で表すと仮定すると、$A*n + B$とすると、

n=2のとき、4、n=3のとき9なので、連立方程式で解くと、

$2A + B = 4$、$3A+B=9$を解いて、$A=5$、$B=-6$

したがって、$5n-6$.

この数列で$5(n+1)-6 = 5n-1$

したがって、

$(5n-4) + (3n-1) + (5n-1) = 13n -6$

3. 最終的な答え

$13n-6$