2次不等式 $-x^2 + 10x - 30 \ge 0$ を解き、選択肢の中から適切なものを選びます。選択肢は「すべての実数」または「解はない」のいずれかです。

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + 10x - 30 \ge 0$ を解き、選択肢の中から適切なものを選びます。選択肢は「すべての実数」または「解はない」のいずれかです。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に-1を掛けて、$x^2$の係数を正にします。

$x^2 - 10x + 30 \le 0$

次に、2次方程式 $x^2 - 10x + 30 = 0$ の判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(30) = 100 - 120 = -20$

判別式が負の値であるため、この2次方程式は実数解を持ちません。

2次関数 $y = x^2 - 10x + 30$ のグラフは、下に凸の放物線であり、x軸と交わりません。

$x^2 - 10x + 30 = (x - 5)^2 - 25 + 30 = (x - 5)^2 + 5$

この式から、この関数の最小値は $x=5$ のとき $5$ であることがわかります。

したがって、$x^2 - 10x + 30$ は常に正の値をとります。

つまり、$x^2 - 10x + 30 > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立ちます。

したがって、$x^2 - 10x + 30 \le 0$ を満たす実数 $x$ は存在しません。

3. 最終的な答え

解はない