$n \times n$ 行列 $A_n$ の行列式を求める問題です。行列 $A_n$ は、対角成分がすべて2、対角成分の上下に1が並び、それ以外の成分がすべて0である三重対角行列です。ヒントとして、余因子展開を用いて、$A_n$, $A_{n-1}$, $A_{n-2}$ の関係を表す漸化式を作成することが示されています。

1. 問題の内容

$n \times n$ 行列 $A_n$ の行列式を求める問題です。行列 $A_n$ は、対角成分がすべて2、対角成分の上下に1が並び、それ以外の成分がすべて0である三重対角行列です。ヒントとして、余因子展開を用いて、$A_n$, $A_{n-1}$, $A_{n-2}$ の関係を表す漸化式を作成することが示されています。

2. 解き方の手順

行列式を $a_n$ で表すことにします。

$A_n$ の第1行で余因子展開すると、

$a_n = 2a_{n-1} - 1 \times \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \end{pmatrix}$

ここで、$n-1$ 行 $n-1$ 列の行列が現れましたが、さらに第1列で余因子展開すると、

$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$

が得られます。これは $a_n$, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$ の間の漸化式です。

初期条件を計算します。

$n=1$ のとき、$A_1 = (2)$ なので $a_1 = 2$。

$n=2$ のとき、$A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ なので $a_2 = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3$。

漸化式 $a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$ を解きます。特性方程式は

$x^2 - 2x + 1 = 0$

となり、$x = 1$ (重根) を持ちます。したがって、一般解は

$a_n = (An + B) \cdot 1^n = An + B$

の形です。初期条件から、

$a_1 = A + B = 2$

$a_2 = 2A + B = 3$

これを解くと、$A=1$, $B=1$ となります。

3. 最終的な答え

したがって、行列式は

$a_n = n + 1$

となります。