(1) 正方行列 $A$ に対して、$A^2 + 3A + 2E = (A + 2E)(A + E)$ が成り立つかどうかを調べる。ここで、$E$は単位行列を表す。 (2) 正方行列 $A, B$ に対して、$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ が成り立つかどうかを調べる。

1. 問題の内容

(1) 正方行列 $A$ に対して、$A^2 + 3A + 2E = (A + 2E)(A + E)$ が成り立つかどうかを調べる。ここで、$E$は単位行列を表す。

(2) 正方行列 $A, B$ に対して、$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ が成り立つかどうかを調べる。

2. 解き方の手順

(1) $(A + 2E)(A + E)$ を展開して、$A^2 + 3A + 2E$ と比較する。行列の積の分配法則を用いて、

$(A + 2E)(A + E) = A(A + E) + 2E(A + E) = A^2 + AE + 2EA + 2E^2 = A^2 + A + 2A + 2E = A^2 + 3A + 2E$

となる。したがって、与えられた等式は正しい。

(2) $(A + B)^2 = (A + B)(A + B)$ を展開する。行列の積の分配法則を用いて、

$(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2$

となる。

与えられた等式 $A^2 + 2AB + B^2$ と比較すると、$AB = BA$ であれば等式は成り立つが、一般には $AB \neq BA$ である。そこで、反例を挙げる。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

とすると、

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$AB \neq BA$ である。

$(A + B)^2 = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \right)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 + 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、$(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ である。

3. 最終的な答え

(1) 正しい

(2) 正しくない（反例あり）