与えられた行列 A と B を適切にブロック分割し、そのブロック分割を用いて積 AB を計算する問題です。 行列 A は $6 \times 6$ 行列、行列 B も $6 \times 6$ 行列です。

1. 問題の内容

与えられた行列 A と B を適切にブロック分割し、そのブロック分割を用いて積 AB を計算する問題です。

行列 A は $6 \times 6$ 行列、行列 B も $6 \times 6$ 行列です。

2. 解き方の手順

行列 A と B を次のようにブロック分割します。

$A = \begin{bmatrix} A_1 & 0 & 0 \\ 0 & A_2 & 0 \\ 0 & 0 & A_3 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} B_1 & 0 & 0 \\ 0 & B_2 & 0 \\ 0 & 0 & B_3 \end{bmatrix}$

ここで、

$A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

$B_1 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B_2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}, \quad B_3 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

すると、積 AB は次のように計算できます。

$AB = \begin{bmatrix} A_1B_1 & 0 & 0 \\ 0 & A_2B_2 & 0 \\ 0 & 0 & A_3B_3 \end{bmatrix}$

$A_1B_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 2 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) & 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

同様に、$A_2B_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$、$A_3B_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

したがって、

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$