与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$ (4) $(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

1. 問題の内容

与えられた置換の積を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題を解きます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

(4) $(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

2. 解き方の手順

置換の積は、右側の置換から順に適用していきます。

(1)

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を右側の置換とします。

$1 \rightarrow 3$

$2 \rightarrow 1$

$3 \rightarrow 2$

次に、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ を左側の置換とします。

$1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$

$2 \rightarrow 1 \rightarrow 3$

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$

したがって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ となります。

(2)

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を右側の置換とします。

$1 \rightarrow 4$

$2 \rightarrow 3$

$3 \rightarrow 2$

$4 \rightarrow 1$

次に、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ を左側の置換とします。

$1 \rightarrow 4 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 3 \rightarrow 2$

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 4$

$4 \rightarrow 1 \rightarrow 3$

したがって、積は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ となります。

(3)

$(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4)$

まず、$(2 \ 4)$を適用します。

$1 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 4$

$3 \rightarrow 3$

$4 \rightarrow 2$

次に、$(2 \ 3)$を適用します。

$1 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 3$

$3 \rightarrow 2$

$4 \rightarrow 4$

最後に、$(1 \ 3)$を適用します。

$1 \rightarrow 3$

$2 \rightarrow 3 \rightarrow 2$

$3 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 4 \rightarrow 4$

まとめると、

$1 \rightarrow 3$

$2 \rightarrow 4$

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 2$

$4 \rightarrow 2 \rightarrow 3$

$1 \rightarrow 3$

$2 \rightarrow 4$

$3 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 2$

よって、 $(1 \ 3)(2 \ 3)(2 \ 4) = (1 \ 3)(2 \ 4)$に対応する置換は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$です。

(4)

$(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$

まず、$(2 \ 3)$を適用します。

$1 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 3$

$3 \rightarrow 2$

$4 \rightarrow 4$

次に、$(1 \ 2 \ 4 \ 3)$を適用します。

$1 \rightarrow 2$

$2 \rightarrow 4$

$3 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 3$

次に、$(2 \ 3)$を適用します。

$1 \rightarrow 1$

$2 \rightarrow 3$

$3 \rightarrow 2$

$4 \rightarrow 4$

最後に、$(1 \ 4)$を適用します。

$1 \rightarrow 4$

$2 \rightarrow 2$

$3 \rightarrow 3$

$4 \rightarrow 1$

まとめると、

$1 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \rightarrow 4$

$2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 4 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 2$

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \rightarrow 4$

$4 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 3$

$1 \rightarrow 4$

$2 \rightarrow 3 \rightarrow 4$

$3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$

$4 \rightarrow 1 \rightarrow 3$

$(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3) = (1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 3)(2 3) = (1 \ 2 \ 4 \ 3)$

$(1 \ 4) (1 \ 2 \ 4 \ 3) = (1 \ 2 \ 3)$

よって、$(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2 \ 4 \ 3)(2 \ 3)$に対応する置換は $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$です。これは巡回置換 $(1 \ 2 \ 3 \ 4)$と同じです。

別の表現として、$(1 \ 2 \ 3 \ 4) = (1 \ 4)(1 \ 3)(1 \ 2)$となるので、この巡回置換は$(1 \ 2 \ 3 \ 4)$と表現できます。

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$