一辺が24cmの正方形の厚紙の4隅から、一辺が $x$ cmの正方形を切り取り、折り曲げてフタのない高さ $x$ cmの直方体の箱を作る。箱の容積を $y$ cm³ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $x$ の値の範囲を求める。 (2) $y$ を $x$ の式で表す。 (3) 最小値を求める。 (4) (3)のときのxの値を求める。

1. 問題の内容

一辺が24cmの正方形の厚紙の4隅から、一辺が $x$ cmの正方形を切り取り、折り曲げてフタのない高さ $x$ cmの直方体の箱を作る。箱の容積を $y$ cm³ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $x$ の値の範囲を求める。

(2) $y$ を $x$ の式で表す。

(3) 最小値を求める。

(4) (3)のときのxの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の値の範囲を求める。

$x$ は正の値でなければならないので、$x > 0$。

また、切り取る正方形の一辺の長さは、元の正方形の一辺の長さの半分よりも小さくなければならないので、$x < 12$。

したがって、$x$ の範囲は $0 < x < 12$。

(2) $y$ を $x$ の式で表す。

箱の底面の縦と横の長さはそれぞれ $24 - 2x$ cmとなる。

箱の高さは $x$ cmである。

したがって、箱の容積 $y$ は、

$y = x(24 - 2x)^2 = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x$

(3) 最小値を求める。

箱の容積$y$は、$0 < x < 12$の範囲で定義されている。

$y' = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x - 4)(x - 12)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 4$ または $x = 12$ のとき。

$0 < x < 12$ の範囲で増減表を考えると、

$x = 4$ のとき極大値を取り、$x = 12$ は範囲外なので考えない。

$x = 4$ のとき、$y = 4(24 - 8)^2 = 4(16)^2 = 4(256) = 1024$

また、$x$が0または12に近づくと、$y$は0に近づく。

したがって、箱の容積の最大値は1024となり、最小値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) ア: 0, イ: 12

(2) $y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$

(3) 最小値：存在しない

(4) 存在しない