実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x - 5$, $y \leq x - 1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

## 問題194 (1)

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x - 5$, $y \leq x - 1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式が表す領域を図示します。

* $y \geq 2x - 5$ は、直線 $y = 2x - 5$ の上側の領域を表します。

* $y \leq x - 1$ は、直線 $y = x - 1$ の下側の領域を表します。

* $y \geq 0$ は、$x$軸より上の領域を表します。

これらの領域の共通部分が、条件を満たす $x, y$ の存在する領域です。この領域をDとします。Dは三角形の領域になります。頂点の座標を求めます。

(1) 直線 $y = 2x - 5$ と $y = x - 1$ の交点

$2x - 5 = x - 1$ より $x = 4$, $y = 3$。交点の座標は $(4, 3)$。

(2) 直線 $y = 2x - 5$ と $y = 0$ の交点

$2x - 5 = 0$ より $x = \frac{5}{2}$, $y = 0$。交点の座標は $(\frac{5}{2}, 0)$。

(3) 直線 $y = x - 1$ と $y = 0$ の交点

$x - 1 = 0$ より $x = 1$, $y = 0$。交点の座標は $(1, 0)$。

領域Dの頂点は、$(4, 3)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(1, 0)$ です。

次に、$x^2 + (y - 3)^2$ を $k$ とおきます。すると、

$x^2 + (y - 3)^2 = k$

これは、中心が $(0, 3)$、半径が $\sqrt{k}$ の円を表します。この円が領域Dと共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求めます。

$k$が最小となるのは、円が点 $(4,3)$ を通るときではありません。円が $(x, y)$の定義域となる三角形の内部にあるとき、$k$の値が小さくなる可能性があります。

$k$が最大となるのは、円が点 $(1, 0)$ を通るときです。このとき、$k = 1^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10$。

$k$が最小となるのは、円が点 $(4, 3)$ を通るときではありません。$x = 0$の時、$y = 3$となるので、$x^2 + (y-3)^2 = 0$となり、$k=0$が最小値です。しかし、$(0,3)$は領域Dに含まれません。よって、kの最小値は円と領域Dが接するときです。円の中心が $(0,3)$なので、点 $(\frac{5}{2}, 0)$を通る場合が最小値の候補となります。$(\frac{5}{2})^2 + (0-3)^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{61}{4}$

よって、領域Dの頂点の値について $x^2 + (y - 3)^2$ を評価します。

* $(4, 3)$ のとき: $4^2 + (3 - 3)^2 = 16$

* $(\frac{5}{2}, 0)$ のとき: $(\frac{5}{2})^2 + (0 - 3)^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{61}{4} = 15.25$

* $(1, 0)$ のとき: $1^2 + (0 - 3)^2 = 1 + 9 = 10$

領域D内の点 $(x, y)$ において、$x^2 + (y - 3)^2$ の値は、頂点における値以上になることはありません。最小値は$(\frac{5}{2}, 0)$と$(1, 0)$を結ぶ線分と円の交点となる場合です。

領域D内で、$x^2 + (y - 3)^2$ の最大値は 16、最小値は 0。

3. 最終的な答え

最大値: 16

最小値: 0

## 問題194 (2)

1. 問題の内容

座標平面において、2つの不等式 $x^2 + y^2 \leq 4$, $y \leq 2x + 2$ を同時に満たす領域をAとする。点 $(x, y)$ が領域Aを動くとき、$y - x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式が表す領域を図示します。

* $x^2 + y^2 \leq 4$ は、中心が原点 $(0, 0)$、半径が 2 の円の内部および境界を表します。

* $y \leq 2x + 2$ は、直線 $y = 2x + 2$ の下側の領域を表します。

これらの領域の共通部分が、領域Aです。

次に、$y - x = k$ とおきます。すると、$y = x + k$ となり、これは傾きが 1、y切片が $k$ の直線を表します。この直線が領域Aと共有点を持つときの $k$ の最大値と最小値を求めます。

$k$ が最大となるのは、直線 $y = x + k$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ と接するときであり、直線が領域Aの上側で接するときです。円の中心 $(0, 0)$ から直線 $x - y + k = 0$ までの距離が半径 2 に等しいことから、

$\frac{|0 - 0 + k|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{|k|}{\sqrt{2}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{2}$

$k = \pm 2\sqrt{2}$

$y = x + 2\sqrt{2}$ が領域Aの上側で接する時の$y$切片になります。

よって最大値は、$2\sqrt{2}$

$k$ が最小となるのは、直線 $y = x + k$ が円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = 2x + 2$ の交点を通るときです。

交点を求めます。

$x^2 + (2x + 2)^2 = 4$

$x^2 + 4x^2 + 8x + 4 = 4$

$5x^2 + 8x = 0$

$x(5x + 8) = 0$

$x = 0, -\frac{8}{5}$

$x = 0$ のとき $y = 2(0) + 2 = 2$

$x = -\frac{8}{5}$ のとき $y = 2(-\frac{8}{5}) + 2 = -\frac{16}{5} + \frac{10}{5} = -\frac{6}{5}$

それぞれの点を直線 $y = x + k$ に代入します。

(1) $(0, 2)$ のとき: $2 = 0 + k$ より $k = 2$

(2) $(-\frac{8}{5}, -\frac{6}{5})$ のとき: $-\frac{6}{5} = -\frac{8}{5} + k$ より $k = \frac{2}{5}$

$y=x+2\sqrt{2}$ と領域Aの交点における$y-x$の値が最大値なので、$2\sqrt{2}$

$y=x+\frac{2}{5}$ と領域Aの交点における$y-x$の値が最小値なので、$\frac{2}{5}$

よって、最小値は $\frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

最大値: $2\sqrt{2}$

最小値: $\frac{2}{5}$