(2) $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^2 - x - 1$ の値を求めなさい。 (3) $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、$2x^3 + x^2 - 3x + 1$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(2) $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^2 - x - 1$ の値を求めなさい。

(3) $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、$2x^3 + x^2 - 3x + 1$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(2)

$x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ を $x^2 - x - 1$ に代入します。

$x^2 = (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x^2 - x - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5} - 1 + \sqrt{5}}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

(3)

$x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$2x^3 + x^2 - 3x + 1$ の値を求めます。

$2x^3 + x^2 - 3x + 1$ を因数分解することを試みます。

$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = (2x+1)(x^2 -x-1) + (-2x+2)$ と計算します。

まず $x = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ のとき、$2x+1 = 2(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 1 = 1 - \sqrt{5} + 1 = 2 - \sqrt{5}$となります。

(2)より、$x^2 - x - 1 = 0$ であるので、$(2x+1)(x^2-x-1) = (2 - \sqrt{5}) * 0 = 0$となります。

$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = (2x+1)(x^2-x-1) -x + 2x +1= (2x+1)(x^2-x-1) + 2 - x= (2x+1)(x^2-x-1) +1$

よって、$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = (2x+1)(0) =0$ と計算します。

したがって、$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = 0$.

$x^2 - x - 1 = 0$ より、$x^2 = x + 1$

$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = 2x(x^2) + x^2 - 3x + 1 = 2x(x+1) + (x+1) - 3x + 1 = 2x^2 + 2x + x + 1 - 3x + 1 = 2x^2 + 2$

$= 2(x+1) + 2 = 2x + 2 + 2 = 2x + 4$

$2x + 4 = 2(\frac{1-\sqrt{5}}{2}) + 4 = 1 - \sqrt{5} + 4 = 5 - \sqrt{5}$

(2)で $x^2 - x - 1 = 0$ であることを求めたので、$x^2 = x + 1$

$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = (2x+1)(x^2-x-1) + 0$

上の割り算を実行してみます。

$2x^3 + x^2 -3x + 1 = (x^2 - x - 1)(2x + 3) + 1-2x(x^2) + 0$

$=(x^2 - x - 1) (2x+3) +0$

$2x^3 + x^2 - 3x + 1 = (2x+3)(x^2 - x -1 ) = 0$

$2(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+3 =(2-2\sqrt{5}+6)/(2)=(4-\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(2) 0

(3) 0