自然数 $n$ と実数 $x$ について、以下の3つの命題の真偽を調べ、さらにそれぞれの逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。 (1) $n$ は 9 の倍数である $\Rightarrow$ $n$ は 3 の倍数である (2) $x \neq 2$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + 2 \neq 0$ (3) $x^2 - x = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ または $x = 1$

1. 問題の内容

自然数 $n$ と実数 $x$ について、以下の3つの命題の真偽を調べ、さらにそれぞれの逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

(1) $n$ は 9 の倍数である $\Rightarrow$ $n$ は 3 の倍数である

(2) $x \neq 2$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + 2 \neq 0$

(3) $x^2 - x = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ または $x = 1$

2. 解き方の手順

(1) $n$ は 9 の倍数である $\Rightarrow$ $n$ は 3 の倍数である

* 元の命題：$n$ が 9 の倍数ならば、ある自然数 $k$ を用いて $n = 9k$ と表せる。このとき $n = 3(3k)$ となり、$n$ は 3 の倍数である。したがって、元の命題は真である。

* 逆：$n$ は 3 の倍数である $\Rightarrow$ $n$ は 9 の倍数である。

$n = 3$ は 3 の倍数だが 9 の倍数ではないので、偽である。

* 裏：$n$ は 9 の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は 3 の倍数でない。

$n=6$は9の倍数ではないが、3の倍数である。したがって、偽である。

* 対偶：$n$ は 3 の倍数でない $\Rightarrow$ $n$ は 9 の倍数でない。

これは元の命題が真なので、対偶も真である。

(2) $x \neq 2$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + 2 \neq 0$

* 元の命題：$x \neq 2$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + 2 \neq 0$

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ なので、$x \neq 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 0$ となるのは $x = 1$ のときのみ。 $x \neq 2$ のときは $x^2 - 3x + 2$ が 0 にならない場合もある ($x=1$の時は0になる)。したがって、この命題は真である。

* 逆：$x^2 - 3x + 2 \neq 0$ $\Rightarrow$ $x \neq 2$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ なので、$x^2 - 3x + 2 \neq 0$ ならば $x \neq 1$ かつ $x \neq 2$ である。したがって、$x \neq 2$ なので、この命題は真である。

* 裏：$x = 2$ $\Rightarrow$ $x^2 - 3x + 2 = 0$

$x = 2$ のとき、$x^2 - 3x + 2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$ なので、この命題は真である。

* 対偶：$x^2 - 3x + 2 = 0$ $\Rightarrow$ $x = 2$

$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)=0$ なので、$x=1$ または $x=2$。したがって、$x=1$のときも成り立つので、偽である。

(3) $x^2 - x = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ または $x = 1$

* 元の命題：$x^2 - x = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ または $x = 1$

$x^2 - x = x(x - 1) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 1$ である。したがって、この命題は真である。

* 逆：$x = 0$ または $x = 1$ $\Rightarrow$ $x^2 - x = 0$

$x = 0$ のとき、$x^2 - x = 0$。$x = 1$ のとき、$x^2 - x = 0$。したがって、この命題は真である。

* 裏：$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$ $\Rightarrow$ $x^2 - x \neq 0$

$x=2$とすると、$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$ だが、$x^2-x = 4-2 = 2 \neq 0$ である。したがって真である。

* 対偶：$x^2 - x \neq 0$ $\Rightarrow$ $x \neq 0$ かつ $x \neq 1$

$x^2 - x \neq 0$ $\Rightarrow$ $x(x-1) \neq 0$ より、$x \neq 0$ かつ $x \neq 1$ 。したがって、この命題は真である。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題：真

* 逆：偽

* 裏：偽

* 対偶：真

(2)

* 元の命題：真

* 逆：真

* 裏：真

* 対偶：偽

(3)

* 元の命題：真

* 逆：真

* 裏：真

* 対偶：真