与えられた行列Aで表される線形写像fについて、その像(Im f)と核(Ker f)の基底をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の3つの行列について、像と核の基底を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aで表される線形写像fについて、その像(Im f)と核(Ker f)の基底をそれぞれ求める問題です。具体的には、以下の3つの行列について、像と核の基底を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の場合

* 像(Im f):

この行列の列ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ です。これらのベクトルが線形独立かどうかを調べます。行列式を計算すると、 $1*3 - 2*2 = 3 - 4 = -1 \neq 0$ なので、線形独立です。したがって、像の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$ です。

* 核(Ker f):

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $(x, y)$ を求めます。この連立方程式は $x + 2y = 0$ と $2x + 3y = 0$ です。この解は $x = 0, y = 0$ だけなので、核は $\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\}$ となり、基底は存在しません。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

* 像(Im f):

この行列の列ベクトルは $\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。$\begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ なので、これらのベクトルは線形従属です。したがって、像の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$ です。

* 核(Ker f):

$\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $(x, y)$ を求めます。この連立方程式は $8x + 4y = 0$ と $2x + y = 0$ です。どちらも $2x + y = 0$ を意味するので、$y = -2x$ です。したがって、核のベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ -2x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ と書けます。したがって、核の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$ です。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ の場合

* 像(Im f):

この行列の列ベクトルは $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ です。これらのベクトルが線形独立かどうかを調べます。行列式を計算してみましょう。

行列に列基本変形を施します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ $\rightarrow$ $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3行目が全て0になったため、rankは2です。

したがって、像の基底は例えば $\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$ です。

* 核(Ker f):

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ を満たす $(x, y, z)$ を求めます。この連立方程式は $2x + y = 0$, $4x + 3y + z = 0$, $2x + 3y + 2z = 0$ です。

$2x + y = 0$ より $y = -2x$.

$4x + 3(-2x) + z = 0$ より $4x - 6x + z = 0$ よって $z = 2x$.

$2x + 3(-2x) + 2(2x) = 2x - 6x + 4x = 0$.

したがって、核のベクトルは $\begin{pmatrix} x \\ -2x \\ 2x \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$ と書けます。したがって、核の基底は $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ の場合

* 像の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$

* 核の基底: なし

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合

* 像の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

* 核の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \right\}$

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ の場合

* 像の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right\}$

* 核の基底: $\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}$