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与えられた行列 A, B, C, D について、積が定義されるすべての組み合わせを求め、その積を計算する。自分自身との積も含む。 $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$

代数学行列行列の積線形代数
2025/7/21

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C, D について、積が定義されるすべての組み合わせを求め、その積を計算する。自分自身との積も含む。
A=[2314−10]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, B=[324101]B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, C=[201]C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}, D=[23−14]D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列の積が定義されるための条件は、左側の行列の列数と右側の行列の行数が一致することである。A, B, C, D それぞれの行列のサイズは次の通り：
A: 3x2
B: 3x2
C: 1x3
D: 2x2
定義される組み合わせを調べ、積を計算する。
- AA: 3x2 * 3x2 なので、定義されない。
- AB: 3x2 * 3x2 なので、定義されない。
- AC: 3x2 * 1x3 なので、定義されない。
- AD: 3x2 * 2x2 なので、定義される。
AD=[2314−10][23−14]=[4−36+122−43+16−2+0−3+0]=[118−219−2−3]AD = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & 6+12 \\ 2-4 & 3+16 \\ -2+0 & -3+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 18 \\ -2 & 19 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}
- BA: 3x2 * 3x2 なので、定義されない。
- BB: 3x2 * 3x2 なので、定義されない。
- BC: 3x2 * 1x3 なので、定義されない。
- BD: 3x2 * 2x2 なので、定義される。
BD=[324101][23−14]=[6−29+88−112+40−10+4]=[417716−14]BD = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6-2 & 9+8 \\ 8-1 & 12+4 \\ 0-1 & 0+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 17 \\ 7 & 16 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
- CA: 1x3 * 3x2 なので、定義される。
CA=[201][2314−10]=[4+0−16+0+0]=[36]CA = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+0-1 & 6+0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \end{bmatrix}
- CB: 1x3 * 3x2 なので、定義される。
CB=[201][324101]=[6+0+04+0+1]=[65]CB = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6+0+0 & 4+0+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 \end{bmatrix}
- CC: 1x3 * 1x3 なので、定義されない。
- CD: 1x3 * 2x2 なので、定義されない。
- DA: 2x2 * 3x2 なので、定義されない。
- DB: 2x2 * 3x2 なので、定義されない。
- DC: 2x2 * 1x3 なので、定義されない。
- DD: 2x2 * 2x2 なので、定義される。
D2=DD=[23−14][23−14]=[4−36+12−2−4−3+16]=[118−613]D^2 = DD = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-3 & 6+12 \\ -2-4 & -3+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 18 \\ -6 & 13 \end{bmatrix}

3. 最終的な答え

積が定義される組み合わせとその結果は以下の通り。
AD=[118−219−2−3]AD = \begin{bmatrix} 1 & 18 \\ -2 & 19 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}
BD=[417716−14]BD = \begin{bmatrix} 4 & 17 \\ 7 & 16 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
CA=[36]CA = \begin{bmatrix} 3 & 6 \end{bmatrix}
CB=[65]CB = \begin{bmatrix} 6 & 5 \end{bmatrix}
D2=[118−613]D^2 = \begin{bmatrix} 1 & 18 \\ -6 & 13 \end{bmatrix}

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