与えられた二次関数を $y = (x-p)^2 + q$ の形に変形する（平方完成する）問題です。対象となる二次関数は以下の4つです。 (1) $y = x^2 - 2x$ (2) $y = x^2 + 16x$ (3) $y = x^2 - x$ (4) $y = x^2 + 3x$

1. 問題の内容

与えられた二次関数を $y = (x-p)^2 + q$ の形に変形する（平方完成する）問題です。対象となる二次関数は以下の4つです。

(1) $y = x^2 - 2x$

(2) $y = x^2 + 16x$

(3) $y = x^2 - x$

(4) $y = x^2 + 3x$

2. 解き方の手順

平方完成を行うには、まず $x$ の係数の半分の二乗を足して引く、という操作を行います。

(1) $y = x^2 - 2x$

$x$の係数は $-2$ なので、その半分は $-1$。

$(-1)^2 = 1$ を足して引きます。

$y = x^2 - 2x + 1 - 1$

$y = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = x^2 + 16x$

$x$の係数は $16$ なので、その半分は $8$。

$(8)^2 = 64$ を足して引きます。

$y = x^2 + 16x + 64 - 64$

$y = (x + 8)^2 - 64$

(3) $y = x^2 - x$

$x$の係数は $-1$ なので、その半分は $-\frac{1}{2}$。

$(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ を足して引きます。

$y = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}$

$y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(4) $y = x^2 + 3x$

$x$の係数は $3$ なので、その半分は $\frac{3}{2}$。

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ を足して引きます。

$y = x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x - 1)^2 - 1$

(2) $y = (x + 8)^2 - 64$

(3) $y = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

(4) $y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$