全体集合 $U = \{n | n \text{は自然数}, 1 \le n \le 6\}$、部分集合 $A = \{a, a-3\}$、 $B = \{2, a+2, 9-2a\}$ が与えられている。$A \cap B \neq \emptyset$ かつ $A \not\ni 2$ を満たすとき、$a$ の値を求め、$A^c$ (Aの補集合)を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{n | n \text{は自然数}, 1 \le n \le 6\}$、部分集合 $A = \{a, a-3\}$、 $B = \{2, a+2, 9-2a\}$ が与えられている。$A \cap B \neq \emptyset$ かつ $A \not\ni 2$ を満たすとき、$a$ の値を求め、$A^c$ (Aの補集合)を求めよ。

2. 解き方の手順

$U$ は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ である。

条件 $A \not\ni 2$ より、$a \neq 2$ かつ $a-3 \neq 2$。つまり、$a \neq 2$ かつ $a \neq 5$ である。

条件 $A \cap B \neq \emptyset$ より、$A$ と $B$ は共通の要素を持つ必要がある。

以下のパターンが考えられる。

(1) $a = 2$

(2) $a = a+2$

(3) $a = 9-2a$

(4) $a-3 = 2$

(5) $a-3 = a+2$

(6) $a-3 = 9-2a$

(1) $a = 2$ は $A \not\ni 2$ に反するので、不適。

(2) $a = a+2$ は $0 = 2$ となり、不適。

(3) $a = 9-2a$ より、$3a = 9$、$a = 3$。

(4) $a-3 = 2$ より、$a = 5$。これは $A \not\ni 2$ に反するので、不適。

(5) $a-3 = a+2$ は $-3 = 2$ となり、不適。

(6) $a-3 = 9-2a$ より、$3a = 12$、$a = 4$。

したがって、$a = 3$ または $a = 4$。

$a=3$のとき、$A = \{3, 0\}$、$B = \{2, 5, 3\}$。$A \cap B = \{3\} \neq \emptyset$。$A \not\ni 2$ を満たす。しかし、$A$ の要素は $U$ の要素でなければならないので、$0$ は不適。

$a=4$のとき、$A = \{4, 1\}$、$B = \{2, 6, 1\}$。$A \cap B = \{1\} \neq \emptyset$。$A \not\ni 2$ を満たす。$A$ の要素は $U$ の要素なので、$A$ は適する。

したがって、$a = 4$、$A = \{1, 4\}$。

$A^c = U - A = \{2, 3, 5, 6\}$。

3. 最終的な答え

$a = 4$

$A^c = \{2, 3, 5, 6\}$