線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ が $T(\vec{x}) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} \vec{x}$ で与えられているとき、逆変換 $T^{-1}$ の行列 $M$ を求める。

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ が $T(\vec{x}) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} \vec{x}$ で与えられているとき、逆変換 $T^{-1}$ の行列 $M$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた行列を $A = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$ とする。

逆行列 $A^{-1}$ を求める公式は、 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ に対して

$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ である。

今回の行列 $A$ に対して、$a = -2$, $b = -2$, $c = -5$, $d = 1$ であるから、

$\det(A) = ad - bc = (-2)(1) - (-2)(-5) = -2 - 10 = -12$ となる。

したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/12 & -2/12 \\ -5/12 & 2/12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/12 & -1/6 \\ -5/12 & 1/6 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$M = \begin{bmatrix} -1/12 & -1/6 \\ -5/12 & 1/6 \end{bmatrix}$

または

$M = \begin{bmatrix} -1/12 & -2/12 \\ -5/12 & 2/12 \end{bmatrix}$