線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ が $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ で定義されている。ここで、行列 $A$ とベクトル $\mathbf{b}$ は $A = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ で与えられている。このとき、$T(\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ を満たすベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2$ を求めよ。

1. 問題の内容

線形変換 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ が $T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$ で定義されている。ここで、行列 $A$ とベクトル $\mathbf{b}$ は

$A = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

で与えられている。このとき、$T(\mathbf{x}) = \mathbf{b}$ を満たすベクトル $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2$ を求めよ。

2. 解き方の手順

求めるベクトルを $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とする。

$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ より、

$\begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 4 & 7 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは連立一次方程式

$5x_1 + 5x_2 = -5$

$4x_1 + 7x_2 = -1$

$3x_1 + 6x_2 = 0$

を解く問題となる。

まず、3番目の式 $3x_1 + 6x_2 = 0$ より、$x_1 = -2x_2$ が得られる。

これを1番目の式に代入すると、

$5(-2x_2) + 5x_2 = -5$

$-10x_2 + 5x_2 = -5$

$-5x_2 = -5$

$x_2 = 1$

したがって、$x_1 = -2x_2 = -2(1) = -2$

$x_1 = -2$, $x_2 = 1$ である。

2番目の式で検算すると、

$4x_1 + 7x_2 = 4(-2) + 7(1) = -8 + 7 = -1$ となり、正しい。

したがって、$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ である。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$