連立不等式 $x+y \ge 2$ および $x^2+y^2 \le 4$ で表される領域 $D$ を点 $(x, y)$ が動くとき、以下の式の最大値と最小値をそれぞれ求めます。 (1) $-2x+y$ (2) $2x+y$ (3) $x^2+y^2-2x$

1. 問題の内容

連立不等式 $x+y \ge 2$ および $x^2+y^2 \le 4$ で表される領域 $D$ を点 $(x, y)$ が動くとき、以下の式の最大値と最小値をそれぞれ求めます。

(1) $-2x+y$

(2) $2x+y$

(3) $x^2+y^2-2x$

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を図示します。$x+y \ge 2$ は直線 $x+y=2$ の上側（または直線上）の領域、$x^2+y^2 \le 4$ は原点を中心とする半径 $2$ の円の内部（または円周上）の領域を表します。

領域 $D$ は、これらの領域の共通部分です。

(1) $k = -2x+y$ とおきます。これは直線 $y = 2x + k$ を表します。この直線が領域 $D$ と共有点を持つように、$k$ の最大値と最小値を求めます。

領域 $D$ の境界は直線 $x+y=2$ と円 $x^2+y^2=4$ です。

直線 $y=2x+k$ と直線 $x+y=2$ の交点は、$x+2x+k=2$ より $x = (2-k)/3$。この時 $y=2-(2-k)/3 = (4+k)/3$。

この交点は領域D上に存在するので、$x^2+y^2 \le 4$。

$((2-k)/3)^2+((4+k)/3)^2 \le 4$を解く。

$(4-4k+k^2)+(16+8k+k^2) \le 36$

$2k^2+4k+20 \le 36$

$2k^2+4k-16 \le 0$

$k^2+2k-8 \le 0$

$(k+4)(k-2) \le 0$

$-4 \le k \le 2$

よって、最大値は2。

次に円 $x^2+y^2=4$ と直線 $y=2x+k$が接するときの$k$を求める。

円の中心(0,0)から直線までの距離が2になれば良いので、$\frac{|2\cdot0-0+k|}{\sqrt{2^2+1^2}} = 2$。

$|k| = 2\sqrt{5}$ よって、$k=\pm2\sqrt{5}$。

このうち、$k$が大きくなるのは、領域Dと交点を持つ時より$k=2\sqrt{5}$は最大値ではない。

よって$k=-2\sqrt{5}$が最小値の候補。

直線 $y = 2x + k$が点$(x,y)$を通るときの$k$の最大・最小を考える。

直線と円の交点を考えると、$x^2+(2x+k)^2 = 4$

$5x^2+4kx+k^2-4=0$

$x = \frac{-4k\pm\sqrt{16k^2-20(k^2-4)}}{10}=\frac{-4k\pm\sqrt{-4k^2+80}}{10}=\frac{-2k\pm\sqrt{-k^2+20}}{5}$

$x+y=2$と$x^2+y^2=4$の交点は$(2,0)$と$(0,2)$なので、$-2x+y$は$(0,2)$で最大値2をとり、$(2,0)$で最小値-4をとる。

(2) $k = 2x+y$ とおきます。これは直線 $y = -2x + k$ を表します。同様に、$k$ の最大値と最小値を求めます。

直線 $y=-2x+k$と直線 $x+y=2$の交点は、$x+(-2x+k)=2$より$x=k-2$。この時$y=2-x=4-k$。

この交点は領域D上に存在するので、$x^2+y^2 \le 4$。

$(k-2)^2+(4-k)^2 \le 4$

$k^2-4k+4+16-8k+k^2 \le 4$

$2k^2-12k+20 \le 4$

$2k^2-12k+16 \le 0$

$k^2-6k+8 \le 0$

$(k-2)(k-4) \le 0$

$2 \le k \le 4$

よって最大値は4。

次に円 $x^2+y^2=4$ と直線 $y=-2x+k$が接するときの$k$を求める。

円の中心(0,0)から直線までの距離が2になれば良いので、$\frac{|2\cdot0+0-k|}{\sqrt{2^2+1^2}} = 2$。

$|k| = 2\sqrt{5}$ よって、$k=\pm2\sqrt{5}$。

このうち、$k$が小さくなるのは、領域Dと交点を持つ時より$k=-2\sqrt{5}$は最小値ではない。

よって$k=2\sqrt{5}$が最大値の候補。

直線 $y = -2x + k$が点$(x,y)$を通るときの$k$の最大・最小を考える。

直線と円の交点を考えると、$x^2+(-2x+k)^2 = 4$

$5x^2-4kx+k^2-4=0$

$x = \frac{4k\pm\sqrt{16k^2-20(k^2-4)}}{10}=\frac{4k\pm\sqrt{-4k^2+80}}{10}=\frac{2k\pm\sqrt{-k^2+20}}{5}$

$x+y=2$と$x^2+y^2=4$の交点は$(2,0)$と$(0,2)$なので、$2x+y$は$(2,0)$で最大値4をとり、$(0,2)$で最小値2をとる。

(3) $k = x^2+y^2-2x$ とおきます。これは $(x-1)^2 + y^2 = k+1$ と変形できます。これは、中心が $(1,0)$、半径が $\sqrt{k+1}$ の円を表します。

この円が領域 $D$ と共有点を持つように、$k$ の最大値と最小値を求めます。

円の中心(1,0)と円 $x^2+y^2=4$の中心(0,0)の距離は1なので、半径の和が最大となる時、円は外接する。

$\sqrt{k+1} = 2+1 =3$

$k+1 = 9$ よって$k=8$が最大値の候補。

円の中心(1,0)と直線 $x+y=2$の距離は $\frac{|1+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

よって$\sqrt{k+1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$のとき最小となる。

$k+1=\frac{1}{2}$ よって$k = -\frac{1}{2}$が最小値の候補。

$(x-1)^2+y^2=k+1$の中心(1,0)は領域Dに含まれるので、$k=1^2+0^2-2\cdot1=-1$は最小値の候補。

$k = x^2+y^2-2x$

$x+y=2$のとき、$x^2+y^2-2x=x^2+(2-x)^2-2x=x^2+4-4x+x^2-2x=2x^2-6x+4$

$2(x^2-3x)+4=2(x-\frac{3}{2})^2+4-2\cdot\frac{9}{4}=2(x-\frac{3}{2})^2+4-\frac{9}{2}=2(x-\frac{3}{2})^2-\frac{1}{2}$

$x=0$で$k=4$、$x=2$で$k=0$。

$x^2+y^2 \le 4$上の点で$x^2+y^2-2x$を最小とするのは$x$が大きければ大きいほど良い。しかし、領域Dにおいては、x=2までしか動けない。

$x=2, y=0$で$k=2^2+0^2-2\cdot2=0$。

最大は$(1, \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：2, 最小値：-4

(2) 最大値：4, 最小値：2

(3) 最大値：8, 最小値：-1